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刘伟庭-现代测试技术2.pdf

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1、信息处理的基本理论及方法 2、信号处理的基本理论及方法 3、误差分析的基本概念 本讲主要内容信息处理的基本理论及方法 1 信源的概念 2 离散信源及连续信源 3 信息的定量描述信源的概念 ? 信源是发出信息的源头实体,它一般是以符号(或信号)的形式发出信息 。 ? 信源的输出是具有随机性的,因为如果事先知道信源的输出,那么就无信息可言。所以信源的输出可以采用随机变量来进行描述。这是Shannon 信息理论的基本假设。 ? 根据随机变量取值于某一离散集合或取值于某一连续区间,相应的信源称为离散信源或连续信源。机械振动的测试a) 离散信源及其数学模型 离散信源及连续信源 ? 信源输出随机变量取自离散集合,采用离散随机变量来描述信源,这种信源为离散信源。 ? 离散信源的数学模型是离散型概率空间,即 其中,为信源输出的可能状态; 为各个状态出现的概率(可能性),且满足状态的出现往往是不相容的。b)连续信源及其数学模型 离散信源及连续信源 ? 信源输出随机变量取自连续集合,采用连续随机变量来描述这些状态,这种信源为连续信源。 ? 连续信源的数学模型是连续型的概率空间,即 且满足 其中,R表示实数集,而是随机变量的概率密度函数。信息的定量描述 1 离散信源的定量描述 ? 自信息 ? 信息熵 2 连续信源的定量描述 ? 连续信源的熵 ? 最大熵定理 ? 联合信源的熵信息量与信源输出随机变量的关系 自 ?信 ?息 信息可定义为事件发生的不确定性。事件发生的概率越大,则不确定性越小,若事件发生,我们得到的信息量就越小;事件发生的概率越小,则不确定性越大,若事件发生,则我们得到的信息量就越大。根据信源模型,我们得到信源输出状态发生所含有的信息量信息量需满足的条件 自 ?信 ?息 信息量应满足以下条件: ? 是的单调递减函数; ? 当时,,信息量为零; ? 当时,,信息量为无穷大; ? 两个独立事件的联合信息量,应该等于它们各自信息量之和。信息量的量化公式和自信息 自 ?信 ?息 根据信息量需满足的条件,定义信息量为 其中,对数的底数a 大于1 。 因为它描述的仅仅是事件发生时的信息量,所以又称为自信息。自信息的单位 自信息的单位取决于其定义式中对数的底数: ? 若底数为2 ,则所得到的信息量单位是比特(bit, binary ?unit 的缩写);( 常用) ? 若底数为e ,则所得到的信息量单位是奈特(nat, nature ?unit 的缩写); ? 若底数为10,则所得到的信息量单位是哈特(hart, ?hartley 的缩写)。信息熵的定义 信 息 熵 在信源中不同状态发生时,我们得到的信息量是不同的,为表示信源综合提供信息量的大小,定义了平均信息量或信息熵 单位:[bit/ 事件]信息熵的物理意义 信 息 熵 ? 信息熵反映了信源输出的平均不确定度。如果信息熵小,则表示信源输出的平均不确定度小,则人们从该信源得到的信息量就小;如果信息熵大,则表示信源输出的平均不确定度大,则人们从该信源得到的信息量就大。 ? 信息熵表征了变量的随机性。大表示的随机性大;反之,则的随机性小。 ? 信息熵是信源紊乱程度或不确定性的测度。当信宿得到信息时,信源的信息熵将减少。信息熵只会减小,不会增大,即信息熵不增原理。(离散)信息熵的基本性质 信 息 熵 ? 对称性。当概率空间顺序任意互换时,熵函数的值不变。 ? 确定性。如果信源的输出只有一个状态是必然的,则信源的熵是零。 ? 非负性。离散信息熵均不小于零。 ? 可加性。统计独立信源的联合熵等于它们各自的熵之和。 ? 极值性。信源各个状态为等概率分布时,熵值最大,这为最大离散熵定理。连续信源的熵 定义连续信源的熵为 该熵又称为 相对熵或差熵 。最大熵定理 问题: 是什么样的函数时,能使连续信源的熵取最大值? ? 峰值功率受限条件下信源的最大熵 ? 平均功率受限条件下信源的最大熵最大熵定理 ? 信源输出信号的峰值功率受限,即该信号的取值被限定在有限范围(a,b)。 ? 在此情况下,当信源输出信号的概率密度是均匀分布时,信源具有最大相对熵。即 峰值功率受限条件下信源的最大熵最大熵定理 若一个信源输出信号的平均功率有限,则其输出信号幅度的概率密度分布是高斯分布时,信源有最大熵。 平均功率受限条件下信源的最大熵 由两个或更多个基本信源组合所构成的信源,称为联合信源。联合信源的熵等于各个基本信源的熵之和。 联合信源的熵信号分析中的常用函数 ? 脉冲函数—— 函数: ?sinc(t)函数: ? 复指数函数:a) ?? 函数: 是一个理想函数,是物理不可实现信号。 ? ? ? ? ? ? ? 0 , 0 0 , ) ( t t t ? ? ? ? ? ?1 ) ( dt t ? 等价: t S(t) t S(t) t S(t) ) ( ) ( lim 0 t S t ? ? ? ? ? ? 1/? 信号分析中的常用函数特性: (1 )乘积特性(抽样) ft t f tft tt ft tt ()() ()(), ()( ) ()( ) ? ? ? ? ? ? ? ? 0 000 (2 )积分特性(筛选) ft t f ft tt ft ()() (), ()( ) () ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? 0 00 (3 )卷积特性 ft t f t d ft ()*() ()( ) () ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? (4 )拉氏变换 ?() () st e d t st ?? ? ?? ? ? ? 1 (5 )傅氏变换 ?() () ft ed t jf t ?? ? ?? ? ? ? ? 2 1sinc(t)函数的波形sinc(t)函数的其它名称 ? 抽样函数:矩形脉冲的频谱是sinc(t)函数。 ? 滤波函数:它是理想低通滤波器的单位脉冲响应函数,或与sinc(t) 函数卷积时,实现低通滤波。 ? 内插函数:采样信号复原时,在时域由许多sinc(t)函数叠加而成,构成非采样的波形。图示: ? ? j 频率 放大 复指数函数 t j t st e e e ? ? ? ? ? ? j s ? ? ; ? ? ? ? ? t t e t e t t ? ? ? ? sin cos ? ? 0 ? ? 0 ? ?复指数函数的性质 ? 该函数被称为永存函数。根据取值的不同,它可表示多种信号分析中的波形。 ? 实际中遇到的任何时间函数,总可以表示成为复指数函数的离散和或连续和。当时,称为复频率函数。信号的时域分析 ? 时域分解 ? 时域统计分析 ? 直方图分析 ? 时域相关分析信号的时域波形分析 信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段,用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形,读取特征参数。 1、信号波形图 t A 2、周期T ,频率f=1/T T 3、峰值P ,双峰值P p-p P P p-p时域分解 直流分量与交流分量 信号可分解为直流分量( 稳态分量) ? ? ? ? ?和交流分量时域分解 偶分量与奇分量 信号可以分解成为偶分量和奇分量 其中:,时域分解 脉冲分量之和 信号可以分解成为许多脉冲分量之和。时域分解 实部分量与虚部分量 将两个信号分别假设为实部分量与虚部分量,则构成了复数信号,以利于分析。时域分解 正交函数分量 信号可以用正交函数集来表示,即 其中, 及时域统计分析(幅值域分析) ? 均值 ? 均方值 ? 方差 ? 概率密度函数 ? 概率分布函数 ? 联合概率密度函数均值 ? ? ?? ? ? ? T T T x dt t x t x E 0 1 ) ( lim )] ( [ ? 均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。 0 A t x ? 均值:反映了信号变化的中心趋势,也称之为直流分量。均方值 工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。 信号的均方值E[x2(t)],表达了信号的强度;其正平方根值,又称为有效值(RMS) ,也是信号平均能量的一种表达。 ? 22 1 2 0 x T T T Ext xtdt ?? ?? ?? ? [() ]l i m ()方差 方差:反映了信号绕均值的波动程度。 信号x(t)的方差定义为: ?? 22 1 2 0 x T T x T Ext Ext xt dt ??? ? ?? ?? ? [( ( ) [ ( )]) ] lim ( ( ) ) 大方差 小方差波形分析的应用 超门限报警 信号类型识别 信号基本参数识别 P p-p案例:旅游索道钢缆检测 超门限报警概率密度函数 px x x T T T x ( ) lim [ lim ] ? ?? ?? ? ?? ? 0 1 px x pxxt x x x ( ) lim (( ) ) ? ?? ?? ?? ? ? ? ? 以幅值大小为横坐标,以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。 p(x) 的计算方法 幅值域分析直方图 以幅值大小为横坐标,以每个幅值间隔内出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -1 -0.5 0.5 1 直方图 概率密度函数 归一化概率分布函数 概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率,其定义为: 概率分布函数又称之为累积概率,表示了落在某一区间的概率。 ? ? ? ? R dx x p x F ) ( ) (图谱联合概率密度函数 联合概率密度函数是描述两个或几个随机信号的不同数据的共同特性或联合特性的参数,定义为 其中,表示信号和同时分别落在及区间的总时间,表示分析时间。? 幅值计数分析 以幅值大小为横坐标,每个幅值间隔内出现 的频次为纵坐标的图形来表示幅值计数分析。 直方图分析 ? 时间计数分析 以某时间间隔内的频次为纵坐标,以时间为横坐标的图形来表示时间计数分析。直方图分析 幅值计数分析直方图分析 时间计数分析时域相关分析 ? 相关函数的物理涵义 ? 自相关函数的性质 ? 互相关函数的性质 ? 相关分析的工程应用两组波形的相似比较 时域相关分析相关函数的物理涵义 时域相关分析 ? 相关函数描述了两个信号之间的关系或相似程度,也可以描述同一信号的现在值与过去值的关系,或者根据过去值、现在值来估计未来值。 ? 假定两个信号和是实能量信号,并且不含有直流分量,引入误差能量 现调整参数,使误差能量最小,由此得最小相对误差能量 ) (t x ) (t y相关函数的物理涵义 时域相关分析 ? 相关系数 ? 互相关函数 2 1 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? dt t x dt t y dt t x t y xy ? 或相关函数的物理涵义 时域相关分析 ? 自相关函数 ? 互相关函数计算时,令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ,再相乘和积分,就可以得到τ时刻二个信号的相关性。 x(t) y(t) 时 延 器 乘法 器 y(t - τ) X(t)y(t - τ) 积分 器 R xy ?(τ) * ? 图例波形相关程度分析 时域相关分析自相关函数的性质 时域相关分析 ? 自相关函数是的偶函数; ? 当时,自相关函数具有最大值; ? 周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号,但不具有原信号的相位信息。几种典型信号的自相关函数 时域相关分析 ? 正弦信号 ? 正弦信号加随机信号几种典型信号的自相关函数 时域相关分析 ? 窄带随机信号 ? 宽带随机信号互相关函数的性质 时域相关分析 ? 互相关函数不是偶函数,但有: ? 互相关函数的最大值不一定发生在处。 ? 两同频率周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号,但保留了原信号的相位信息。 ? 两个非同频的周期信号互不相关。求正弦函数的自相关函数 时域相关分析时域相关分析 求正弦函数和正弦函数 的互相关函数。时域相关分析 求正弦函数和正弦函数 的互相关函数。时域相关分析 ? 利用相关分析探测地下管道泄漏位置时域相关分析 ? 测量热轧钢带运动速度自相关分析测量转速 理想信号 干扰信号 实测信号 自相关系数 提取周期性转速成分。 自相关分析的主要应用: 用来检测混肴在干扰信号中的确定性周期信号成分。互相关测速 互相关分析的主要应用: 滞后时间确定? 信号源定位 测速 测距离信号的频域分析 8563A SPECTRUM ANALYZER ? ? ?9 kHz - 26.5 GHz 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f),从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。 傅里叶变换频域分析的概念 131Hz 147Hz 165Hz 175Hz 频域参数对应于设备转速、固有频率等参数,物理意义更明确。时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况,除单频率分量的简谐波外,很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。 图例:受噪声干扰的多频率成分信号时 间 幅值 频 率 时域分析 频域分析 信号的频谱X(f) 代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小,它能够提供比时域信号波形更直观,丰富的信息。 时域分析与频域分析的关系信号的频域分析 ? 周期信号的幅值谱、相位谱、功率谱 ? 非周期信号的谱密度 ? 随机信号的功率谱密度 ? 巴什瓦定理 ? 卷积定理信号的频域分析 周期信号的傅立叶级数展开 任何周期函数在满足Dirichlet条件下,可以展开成正交函数线性组合的无穷级数: 其中信号的频域分析 周期信号的傅立叶级数展开 经过数学变换,有 其中,, ? 幅值谱—— 之间的关系。 ? 相位谱—— 之间的关系。 ? 功率谱—— 之间的关系。信号的频域分析 傅立叶级数的特点 ? 谐波性.各次谐波频率比为有理数; ? 离散性.即各次谐波在频率轴上取离散值; ? 收敛性.即各次谐波分量随频率增加而衰减. 方波信号频域特性信号的频域分析 吉布斯(Gibbs)现象 当用傅里叶级数的谐波分量之和来表达具有间断点的波形时,可以清楚地看到这种现象.信号的频域分析 非周期信号的傅立叶变换 如果非周期信号为时域有限信号,具有收敛可积条件,其能量为有限值,则存在傅立叶变换对。 幅值谱密度: 能量谱密度: 相位谱密度:与周期信号相似,非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和,所不同的是,由于非周期信号的周期T ? ∞,基频f ?df ,它包含了从零到无穷大的所有频率分量,各频率分量的幅值为X(f)df,这是无穷小量,所以频谱不能再用幅值表示,而必须用幅值密度函数描述。 另外,与周期信号不同的是,非周期信号的谱线出现在0,f max 的各连续频率值上,这种频谱称为连续谱。信号的频域分析 逆傅立叶变换中的吉布斯(Gibbs)现象 在逆傅立叶变换中,由于实际积分限为有限值,所以频域的截断,导致出现了吉布斯(Gibbs )现象频谱分析的应用 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量,是信号分析中最常用的一种手段。 案例: 在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析,确定最大频率分量,然后根据机床转速和传动链,找出故障齿轮 。 案例: 螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速,确定螺旋浆转速工作范围。谱阵分析:设备启/ 停车变速过程分析信号的频域分析 功率信号的傅立叶变换 借助于广义函数理论,把功率信号作为某个函数的极限形式,可得傅立叶变换对:随机信号的功率谱密度 自功率谱密度与互谱密度 ? 对于随机信号,是时域无限信号,不具备可积分条件,因此不能直接进行Fourier 变换.又因为随机信号的频率、幅值、相位都是随机的;因此从理沦上讲,一般不作幅值谱和相位谱分析,采用具有统计意义的功率谱密度来进行谱分析。 ? 定义平稳随机过程的自功率谱密度与自相关函数是一个Fourier 变换偶对,即(维纳-辛钦公式)随机信号的功率谱密度 自功率谱密度的物理意义 根据定义,有 所以 ? ? ? d s dt t x T R x T T x ? ? ? ? ? ) ( 2 1 ) ( 1 lim ) 0 ( 2 2 2 平均功率 单位带宽内 信号的功率 自功率谱密度随机信号的功率谱密度 ? 自功率谱密度是非负实偶函数,单边谱定义为 ? 自功率谱密度与幅值谱密度的关系随机信号的功率谱密度 ? 互谱密度函数(简称互谱密度) ? 互功率谱密度与幅值谱密度的关系随机信号的功率谱密度 ? 相干函数 ? 频率响应函数 相干函数与频率响应函数 ? 相干函数可以判别系统输出与输入之间的关系,当则完全相关;当表示测量有噪声,或系统存在非线性。信号频域分析 ? 巴什瓦等式 巴什瓦定理 ? 物理意义: 对于能量有限信号,时域内的曲线所覆盖的面积等于频域内所覆盖的面积。也就是说,时域内信号的能量等于频域内信号的能量,信号经过傅里叶变换前后的总能量保持不变。信号频域分析 ?若, 卷积定理 ? 时域卷积定理 ? 频域卷积定理误差的基本分析 测量误差的基本概念 ?真值 ? 按照表示方法分类 绝对误差:测得值与真值之差。 相对误差:绝对误差与真值之比。 ? 按照分析与处理方法分类 随机误差:随机性或偶然性产生的误差。 系统误差:数值恒定或具有一定规律性变化的误差。 粗大误差:由于测量中的错误产生的误差。误差的基本分析 测量误差的基本概念 ?误差 ? 真值即真实值,是指在一定条件下,被测量客观存在的实际值。 ? 理论真值:理论真值也称绝对真值,如平面三角形三内角之和恒为180 度。 ? 规定真值:国际上公认的某些基准量,如“ 米等于光在真空中1/299 792 458 秒时间间隔所经路径的长度” 。 ? 相对真值:计量器具按精度不同分为若干等级,上一等级的指示值即为下一等级的真值。误差的基本分析 测量误差的基本概念 ?测量不确定度 ? 测量不确定度为对被测量值的不能肯定的程度。 定义为:表征合理地赋予被测量之值的分散性, 与测量结果相联系的参数。测量不确定度用标准 偏差表示时称为标准不确定度,如用说明了置信 水准的区间的半宽度的表示方法则成为扩展不确 定度。 ?A类不确定度评定:用统计分析的方法来评定观 测值的标准不确定度。 ?B类不确定度评定:用非统计分析的方法来评定 观测值的标准不确定度。误差的基本分析 测量不确定度与测量误差的区别 ? 误差是测量值与真实值之差,是一个确定的值,它的存在大小与人们的认识程度无关。但因真值无法得知,所以误差也不能准确得到。 ? 不确定度是指被测量值的分散性,它可以通过人们对被测量的统计分析及相关资料的评定而得到。在表达测量数据可靠性方面更加科学。小结 ?信息处理相关知识 ?信号处理相关知识 ?误差分析的基本概念

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