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胡海岩机械振动基础第一章课件.ppt

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胡海岩 机械振动 基础 第一章 课件
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1,第一章 单自由度系统的振动,振动工程研究所,振动分类(自由度),单自由度多自由度(有限自由度)->大自由度连续体(无限自由度),振动工程研究所,振动分类(运动特点),简谐振动周期振动(可分解为若干简谐振动之和)非周期确定性振动 ? ? ? ? ? ? ? ?(可分解为无限个简谐振动之和) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *概周期振动 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *一般确定性运动随机振动混沌振动,振动工程研究所,研究的起点----单自由度系统的确定振动,是以后研究复杂系统的基础。有助于理解实际工程振动问题。很多实际问题可简化为单自由度问题。,,振动工程研究所,1.0.1 简谐振动的表示三要素:振幅、频率、相位(概念复习) ?简谐振动的三种表示法三角函数法,1.0 振动的描述,注意位移、速度、加速度之间得相位关系,振动工程研究所,复数法,旋转向量法(几何法)——纵轴投影,振动工程研究所,复数法的位移、速度、加速度关系,振动工程研究所,,三种表示法的差异,三角函数最直接、最常用。,旋转向量法是三角函数几何表示,用得不多,直观。,复数法与三角函数是一致的。,向Y轴投影,,取虚部,,,振动工程研究所,简谐振动的合成 ?频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动,且频率不变。,,用复数法,振动工程研究所,不同频率的简谐振动的合成不再是简谐振动周期振动(频率可通约),证 ? ?明,,关键整数倍数,振动工程研究所,2. ?调制信号——用高频传递低频信号,两个振幅相同,而相位不同、频率接近且可通约的谐振动合成,振动工程研究所,几个概念,拍:周期振动的一种拍频:注意是拍的节律,不是包络线频率 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (差一倍)包络线:有两条,振动工程研究所,,,两个振幅、相位、频率都不同的谐振动合成,同振幅谐振动的包络线通过零点。由两个频率接近的简谐振动合成的拍是一种普遍的物理现象。,振动工程研究所,李沙育(Lissajous)图,振动方向相互垂直的简谐振动合成示波器观测频率与象位的传统工具,振动工程研究所,1.1 单自由度系统振动方程,振动系统的组成三要素:质量,刚度,阻尼 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 必须要素振动系统的数学模型:运动方程(力平衡给出方程),,振动工程研究所,f s,弹性恢复力与弹簧两端的相对位移(变形)成正比,方向相反。弹簧受力有势能;松弛完全放势能(无阻尼)。,,,方程中的弹性项,振动工程研究所,粘性阻尼力与物体在介质中的相对运动速度成正比,方向相反。(最简阻尼形式),方程中的阻尼项,振动工程研究所,根据D’Alembert原理(动静转换),质量块(无变形)提供与外力大小相同、方向相反的惯性力,,方程中的惯性项,振动工程研究所,建模步骤,建立坐标系 ? ? ? ? ? ? ? ? 原点为静止点 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 坐标正向为标示外力方向分离体法(材力,结力) ? ? ? ? ? ? ? ? 对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力力平衡 ? ? ? ? ? ? ? ? 达朗贝尔原理,振动工程研究所,由繁入简,,方程分类,单自由度系统振动方程自由振动方程——无外激励 偏离静平衡 初始条件无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特点,振动工程研究所,1.2无阻尼单自由度系统的自由振动,方程,初始条件(定解条件),,注意,,特点 ? ? ? ?二阶常系数齐次方程,振动工程研究所,解的形式与试探解,微分方程解=通解(+特解),,,(1)试探解的提出与代入(2)用初始条件定系数,数学理论,实际经验,,振动工程研究所,因为 ? ? ? ? ? ? ? ?,故得到有特征方程(以s为变量的代数方程)特征解(根)为其中 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为固有圆频率.或 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 固有频率 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(固有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 周期?),振动工程研究所,自由运动方程的通解可取为:或其中 ? ? ? 或 ? ? ? 为积分常数。由初始条件定。无阻尼系统的自由振动是简谐振动,振动工程研究所,无阻尼自由振动的时间域响应(时间历程)可表达为或,(易记忆),振动工程研究所,两个并联弹簧刚度增加, 两个串联弹簧刚度削弱,,刚度元件的串并联,振动工程研究所,例: 升降机钢丝绳中最大张力,振动工程研究所,解:,初始条件,方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?固有频率,振幅,由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为,钢丝绳中总张力的最大值是,振动工程研究所,1.3 ?等效单自由度系统,物理系统多样 ? ? ? ? ? ?数学模型唯一(等效性)工程实际简化例子 ? ? ? 汽车乘员抗颠簸性研究 ? ? ? 翼尖挂弹环境研究 ? ? ? 摩天轮刹车性能研究,,振动工程研究所,摆,振动系统中不存在弹性元件,恢复力由摆锤重力提供。 (势能提供者为重力,地球是储能元件),,动力矩方程或力矩平衡方程,,振动的幅度很小时,振动工程研究所,小角度简化方程为,,系统振动的固有频率,,周期与摆线长关系,,振动工程研究所,,系统振动的Duffin方程,,周期误差与角度关系,,,大角度简化方法,振动工程研究所,刚体摆,质量为m,质心C距铰中心O距离为l,绕固定铰使用动量矩定理,,,考虑小角度条件,,固有频率及固有周期,,振动工程研究所,与材料力学联系,单自由度扭振,假定盘和轴都为均质体,不考虑轴的质量。设扭矩作用在盘面,此时圆盘产生一角位移,,,,其中,定义轴的扭转刚度为,,振动工程研究所,扭转振动方程,扭转振动固有频率,,,系统对初始扰动的自由振动响应,,振动工程研究所,梁横向振动,例:简支梁的横向振动,假设系统的质量全部集中在梁的中部,取梁的中部挠度作为系统的位移,静态挠度 :,,等效刚度,,振动工程研究所,系统自由振动方程为,,振动固有频率,,悬臂梁、固支梁情况类似,关键在于确定自由度与给出等效刚度,振动工程研究所,*用能量法确定固有频率,根据机械能守恒条件可得,固有振动是简谐振动,其位移和速度分别为,(一种简单方法,也可发展用于近似求多自由度系统固有特性),振动工程研究所,右端称作Rayleigh商,,计算系统固有频率的方法,其中参考动能:,参考动能求法:将最大动能中的速度项换成位移项既成参考动能。,振动工程研究所,半径为r、质量为m的圆柱体在半径为R的内圆柱面上绕最低点作纯滚动,试求其微振动的固有频率。,例 圆柱体的微振动,解:设圆柱体作纯滚动,,圆柱体的动能是,重力势能为,由Rayleigh商得系统固有频率为,关键是确定便于建模的独立自由度,简化三角函数,振动工程研究所,,* 弹性元件的分布质量及其简化,(1)假设速度分布(2)计算分布质量动能(3)根据动能相等计算等效集中质量,例:一端固定弹簧,以自由端为分析自由度,弹簧上距固定端x处点的位移:,微段弹簧质量:,动能:,振动工程研究所,等效质量:,振动工程研究所,无阻尼单自由度系统求解目的,求固有特性(固有频率,周期) ? ? ? ? ? ? ? ?(主要目的)研究极小阻尼下响应,振动工程研究所,,1.4 粘性阻尼单自由度系统的自由振动,求解初值问题:,它的解具有如下形式,非平凡解特征方程,含阻尼元件:线性阻尼,,无外激励,,平凡解,振动工程研究所,解出一对特征根,阻尼比定义,固有频率,阻尼比不同,解形式不同。,,振动工程研究所,(1)过阻尼情况,特征根是一对互异实根,引入初始条件,积分常数,,振动工程研究所,指数衰减,,振动工程研究所,(2)临界阻尼情况,,特征根是一对相等的实根,引入初始条件,积分常数,,振动工程研究所,,振动工程研究所,(3)欠阻尼情况( ? ? ? ),,这时特征根是一对共轭复根,通解是:,,(最主要),,振动工程研究所,,自然频率(阻尼振动频率),引入初始条件,积分常数,参数与量纲,,,振动工程研究所,通解形式,初始位移引起的振动,初始速度引起的振动,,解的迭加性,,,振动工程研究所,,粘性阻尼振动系统的自由振动解的另一形式,由初始条件决定,包络线,,振动工程研究所,欠阻尼系统振动特性,(1)自由振动振幅按指数规律衰减,(2)非周期振动:振幅不同但有等时性。,周期概念——自然周期(阻尼固有周期)概念,,振动工程研究所,(3)阻尼比的影响,关系:,(4)振幅对数衰减率:经过一个自然周期的振幅之比的自然对数。,(5)由振幅对数衰减率求阻尼比(逆问题),,工程性,,振动工程研究所,阻尼比与解的关系,,简谐振动,,,,过阻尼衰减,,,,,振动工程研究所,小结,数学模型建立特征解(动特性)……固有……自然初始条件下响应,(冲击响应),(初始变形),振动工程研究所,1.5 简谐力激励下的受迫振动,1.5.0无阻尼系统的受迫振动 ? 或,力激励 ? ? 位移激励,,,振动工程研究所,(1) 当 ? ? ? ? ? ? ? ?时特解形式为,解的特性讨论(试探解),强迫振动的响应(非齐次方程解)由两部分组成,通解(自由振动),特解(强迫振动),,振动工程研究所,积分常数由初始条件决定。,(2)当 ? ? ? ? 时,方程(1.5.1)的特解具有如下形式,代入方程,,振动工程研究所,运动方程的解变为,积分常数变为,系统位移响应中最后一部分随时间增加趋于无穷,这是激励频率与系统固有频率相等时的共振现象。 (……超谐共振,亚谐共振),,振动工程研究所,1.5.1 ? 简谐力激励下受迫振动的解,运动方程,阻尼自由振动通解,强迫振动特解(注意相位变化),,振动工程研究所,阻尼系统强迫振动方程的解为,,(1)三角方程常利用待定系数法求解(2)运用技巧较多,,振动工程研究所,其中积分常数可由初始条件确定,它们是,积分常数与系统的物理参数有关;也与激振频率有关。,,振动工程研究所,响应由两部分组成:a. 第一部分类似于粘性阻尼系统的自由振动,其幅值随时间增长而衰减。初始条件响应部分。,,振动工程研究所,b. 第二部分响应如图1.5.1中细实线所示。它是简谐力引起的简谐振动,其幅值是常数,不因阻尼而衰减,故称为稳态响应部分。,系统的完整受迫振动由上述两部分叠加而成。,在时间历程上,系统的受迫振动响应分为两个阶段: ? 由给定的初始条件出发,系统振动由自由衰减振动响应和强迫振动响应相叠加,呈现较为复杂的波形。随着时间增长,自由衰减振动响应趋于零,而强迫振动响应成为主要成分。这个阶段称为过渡过程。过渡过程只经历一个不长的时间,阻尼越大,过渡过程持续的时间越短。 ?经过一段时间后,系统的振动响应将以强迫振动响应为主,这一阶段称作稳态过程。只要有激振力作用,稳态振动将一直持续下去。,,振动工程研究所,1.5.2阻尼系统的稳态振动响应,无量纲化激励频率, (便于观察 ?比较和使用),过渡过程很短暂,在实践中主要关心系统稳态振动。,振幅放大系数(相对振幅),,振动工程研究所,位移幅频特性曲线,位移相频特性曲线,,,,振动工程研究所,稳态响应速度函数描述,速度振幅 ? ? ? 速度相位差,速度振幅放大系数,,人为定义概念并选择ωn,,,,,振动工程研究所,稳态响应加速度函数描述,加速度振幅 ? ? ? 加速度相位差,加速度振幅放大系数,,人为定义概念并选择ωn,,,,,振动工程研究所,速度幅频特性曲线,加速度幅频特性曲线,,,,振动工程研究所,稳态响应频率特性,低频段,(1),(2),(3),弹性占优,,振动工程研究所,稳态响应频率特性(续),高频段,(1),(2),(3),惯性占优,,振动工程研究所,稳态响应频率特性(共振),位移共振,速度共振,加速度共振,共振频率,,,阻尼特性占优阻尼力等于激励,,,振动工程研究所,系统品质因数(共振放大系数表示阻尼的又一参量),定义:共振区,放大系数大于峰值 ? ? ? ? ? ? ? 处,半功率点,半功率带宽,,振动工程研究所,共振的过渡过程,共振区及其半功率带,,,,振动工程研究所,例:旋转部件偏心质量引起的振动,,振动工程研究所,化为简谐强迫振动形式,稳态位移的幅值和相位分别为,稳态位移幅值化为无量纲形式,其位移幅频特性曲线与常幅值简谐力激励系统的加速度幅频特性曲线相同,对应的转速称为临界转速,,分母不是静变形,,,振动工程研究所,例:单盘转子的弓形回旋,,图1.5.8 作同步弓形回旋的单盘转子,选择自由度:C点在ODC平面内正交运动的自由度,,振动工程研究所,两个互相独立的运动方程,系统的稳态响应为,轴的动挠度(即形心D的运动)轨迹是一个与时间无关的圆,注意,,,振动工程研究所,动挠度与偏心距的比值可表示为如下无量纲形式,它也等于常幅值简谐力激励系统的加速度放大系数,转子的共振动挠度为:,若阻尼比较小,即使转子平衡得很好(e 很小),动挠度r也会相当大。这个转速称为单盘转子的临界转速,刚性转子 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 柔性转子,,振动工程研究所,1.6基础简谐激励下的受迫振动,1.6.1 振动方程,,振动工程研究所,变量替换,相对运动方程(以质量块与基础距离改变为自由度),绝对运动方程(以质量块位移为自由度),,振动工程研究所,采用正弦函数描述基础简谐运动,绝对运动方程可写为,稳态响应(特解)具有以下形式,1.6.2 稳态振动分析绝对运动,为激励初相位(与响应幅值无关),振动工程研究所,绝对运动传递率定义为:,解参数为:,另一种形式:,振动工程研究所,绝对运动传递率的频率特性,幅频,相频,,,振动工程研究所,(1)在低频段( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )系统的绝对运动接近于基础运动,它们之间基本上没有相对运动。,(2)在共振频段( ? ? ? ? ? ? )附近,有峰值;说明基础运动经过弹簧和阻尼器后被放大传递到质量块。,绝对运动传递特性,(3)幅频特性曲线都在 ? ? ? ? ? ? ? 时通过。,(4)在高频段( ? ? ? ? ), ? ? ? ? ;说明基础运动被弹簧和阻尼器隔离,振动工程研究所,相对运动,解参数,无量纲化相对运动传递率,振动工程研究所,1.7 振动的隔离,隔离振动(简称隔振)就是研究物体之间振动的传递关系,减小相互间所传递的振动量。,第一类:隔力:通过弹性支撑来隔离振源传到基础的力(发动机减振安装),第二类:隔幅:通过弹性支撑减小基础传到设备的振动幅值(仪表环境改善),振动工程研究所,1.7.1第一类隔振,隔振器传到刚性地基的弹性力和阻尼力,将经过隔振器传到基础的力幅与激励幅值之比定义为力传递率,二者相位差 ? ? ? ? ?,其合力的幅值为,当 ? ? ? ? ? ? 时, ? ? ? ? ?,这时有隔力效果。,振动工程研究所,1.7.2第二类隔振,基础作简谐运动时,系统的绝对运动传递率已由下式给出。,显然,只有当 ? ? ? 时, ? ? ,隔振器才有效果。,隔振器的刚度系数k应满足,阻尼越小传递率越低,隔振效果越好。但为了减少系统通过共振区时的振幅,必须为隔振器配置适当的阻尼。,由于阻尼一般很小, ? 或 ? ?在高频段可近似为,振动工程研究所,例1.7.1 某直升机在旋翼额定转速360rpm时机身强烈振动,为使直升机上某电子设备的隔振效果达到 ? ? ? ? ? ? ? ? ,试求隔振器弹簧的在设备自重下的静变形。,解:记隔振器弹簧在设备自重作用下的静变形为 ? ? ,由虎克定律,变化放大系数简化式,为,可见,低频隔振器的弹簧必须很柔软。柔软弹簧带来的问题一是隔振系统要有足够大的静变形空间,二是侧向稳定性差。因此,隔离低频振动是工程实践中的难题。,综合上两式得到,静力学方法测动特性,动力学方法测静力特性,振动工程研究所,几种常用减振方法,改变特性 ? ? ?变刚度,质量 ? ? ? ? ? 隔振:降低刚度,增加质量 ? ? ?变阻尼 ? ? ? ? ? 减振:加阻尼改变系统构成 ? ? ? ? ? 吸振器,阻尼器,附加结构,振动工程研究所,1.8 等效线性粘性阻尼,1.8.1 阻尼的等效,一般阻尼动力学系统,上式右端第一项为阻尼力。若系统作简谐振动,则阻尼力在一个振动周期内消耗的能量:,阻尼力在微位移区间du上所做的功为:,,,亦与位移有关,周期内阻尼作用等效,,振动工程研究所,将上述阻尼力等效为粘性阻尼,等效粘性阻尼在一个周期内所做的负功,令等效粘性阻尼在一个周期内所做的负功与真实阻尼的相等:,得,等效粘性阻尼比,若等效粘性阻尼比较大,应检查简化条件!,振动工程研究所,损耗因子定义:系统阻尼在每个振动周期中所耗能量与系统最大弹性势能之比,再除以 ? ? ? 。,等效粘性阻尼系数和损耗因子之间的关系为,对比,振动工程研究所,1.8.2 几种阻尼的等效实例,低粘度流体阻尼,Coulomb干摩擦阻尼,,,,,振动工程研究所,结构阻尼 (迟滞阻尼),是一常数,称为迟滞阻尼系数,损耗因子为:,等效粘性阻尼系数,结构阻尼系统微分方程复描述,损耗因子非频变,,,,振动工程研究所,刚度表达式:,粘性阻尼亦可等效为结构阻尼,损耗因子频变,,复刚度的准确(频域)表达方式:,粘弹性材料的复模量频域表达式:,,振动工程研究所,复刚度描述下的简谐振动稳态解,动力学方程,代入试探解,得稳态解,位移放大系数,,振动工程研究所,方程:无阻尼--有阻尼,激励:单频--多频--无限频率,自由度:单--多--无限,研究进展图,振动工程研究所,1.9 周期激励下的振动分析,将周期激励作Fourier展开,得到一系列简谐激励的线性组合,分别求解简谐激励下系统的响应,然后根据线性叠加原理进行叠加,得到整个响应。,解决问题的思路,问题及方程,振动工程研究所,周期函数满足一定条件后可展开为Fourier级数,,1.9.1 周期(激励)函数的付氏级数展开,振动工程研究所,各谐分量的系数为该分量的谱,,周期振动:离散谱,,振动工程研究所,复数表示,利用,得到,欧拉公式,双边频谱,振动工程研究所,几个概念与思考,,振动是在实数域内的,为什么可用复数表达?,基频 ? ?r阶谐波,频谱图:幅频、相频,阶数是否总有无限多项,为什么单边频谱幅值是双边的二倍,振动工程研究所,谐波逼近,对矩形波的谐波逼近,?谐波分量幅值与阶次成反比(思考意义),振动工程研究所,长(无限)周期的谱分析,(周期无限的谐波分析 )谐波分析-谱分析 ? ? ? ? ? ?F级数-F变换周期变大-圆频率变小 ? ? ? ? ? ? ? ?谱线连续,,振动工程研究所,变量代数变换,代入,振动工程研究所,计算机计算方法,软件:VC,VB函数;MATLAB; ? MATHCAD;MAPLE名称:FFT ? ?DFT ? ?结果:(幅值,相位) ? ? ? ? ? ?(实部,虚部)六十年代发现之后对信息、电子、通讯作用巨大,振动工程研究所,由于线性系统解的线性迭加性,解应为各频率分量激励对应解的和,稳态解:,1.9.2 周期激励受迫振动响应,振动工程研究所,或,振动工程研究所,周期力作用下系统的稳态响应的特性:,,a. 系统的稳态响应是周期振动,其周期等于激振力的周期,b. 系统的稳态响应由激振力的各次谐波分量分别作用下的稳态响应叠加而成。,c. 系统稳态响应中,频率最靠近固有频率的谐波最大,在响应中占主要成分;频率远离固有频率的谐波很小,在响应中占次要成分。换言之,系统相当于一个滤波器,放大了靠近固有频率的激励谐波分量,而抑制了远离固有频率的激励谐波分量的响应。,振动工程研究所,瞬态响应解法,1、求通解形式2、求稳态特解和式3、通解+特解4、代入初始条件,得通解系数。,振动工程研究所,1.10 一般(瞬态)激励下的振动分析,其中 ? ? ? ? ? ?是一个任意函数。求解思路:先把一般激励分解为一系列简单激励的线性组合,然后求出各简单激励下系统的响应,再运用线性系统响应的可叠加性获得一般激励引起的响应。,问题及方程,振动工程研究所,1.10.1 Fourier变换法,对一般激励进行分解的一种直观方法是将其分解为无限多简谐激励之和,F氏变换(无穷大周期F级数展开),式中,激励频域分布,,周期激励扩展,振动工程研究所,频域响应解,,(位移)频响函数,重要概念,单位简谐力引起的系统稳态位移,又称作动柔度,(1)是系统输出与输入的Fourier变换之比,与激励幅值大小无关,与系统初始条件无关 。(2)完整地包含了系统的动特性信息 。,测试理论公式,振动工程研究所,频响函数与放大系数关系,频响函数对应的时域意义,单位脉冲响应与频响函数互为F氏变换,时域解的两种解法,,振动工程研究所,1.10.2 Laplace变换法,L氏变换定义,R?Z,Z?R,一般不作直接计算式,振动工程研究所,动力学方程与L氏域解,,(与初始条件有关),零初始条件,,振动工程研究所,Laplace逆变换得,传递函数定义,定义系统位移(输出量)的Laplace变换与激振力(输入量)的Laplace变换之比为传递函数,振动工程研究所,传递函数与单位脉冲响应是一个Laplace变换对,传递函数与频响函数关系,频率域是s域的特款,而频响函数是传递函数的特款。,振动工程研究所,1.10.3单位脉冲响应法,,矩形波,(1)单位脉冲函数(Dirac)及其性质,积分性质(定义),,取极限,脉冲函数演化,单位性,振动工程研究所,度量性,(象尺一样量出各时刻 ? ? ? ?的函数值),(2)脉冲载荷及其响应,理想脉冲力:作用时间极短,幅值极大,但冲量有限。,脉冲载荷定义:,单位脉冲力:,冲量—速度变换:,冲量,冲量定理,振动工程研究所,当脉冲在 ? ? ? ? ? ? 作用时,响应延迟为,当冲量I=1, 单位脉冲响应(阻尼系统自由振动解),系统进行初始条件如下的自由振动。,专用 h(t)表示t时刻单位原点脉冲激励的响应,相当于y轴前移,振动工程研究所,(3)Duhamel积分 (脉冲激励响应的线性叠加),,线性系统数乘特性,线性系统叠加特性,可改写成,,,振动工程研究所,例: 试求初始静止的单自由度系统在如下单位阶跃力 ? 作用下的响应。,解:考虑阻尼的系统的运动微分方程及初始条件可写为,系统响应可由上述Duhamel积分求得,或用坐标变换得到,坐标变换,(实际位移—静变形),方程变为,振动工程研究所,单位阶跃响应,响应为阻尼系统自由振动解,专用 g(t)表示t时刻单位原点阶跃激励的响应,振动工程研究所,单位阶跃响应是系统在新平衡位置的自由振动,振动工程研究所,单位脉冲力与单位阶跃力有如下关系,单位脉冲响应与单位阶跃响应也有类似关系,(4)非零初始条件与激励联合激发的响应,或,无阻尼系统,单位阶跃响应:,振动工程研究所,阶跃分解法,对激励作分解的第二种直观方法是将其视作一系列阶跃激励的叠加,系统响应将等于各个阶跃激励响应的叠加。,应用Duhamel积分,振动工程研究所,例:零初始条件下无阻尼系统在受如下矩形脉冲力作用的响应。,解:此时有 ? ? ? ? ?、 ? ? ? ? ? ?,故,,,,,推广至 i 个跳跃点,振动工程研究所,受迫振动分析方法汇总,134,结束第一章,

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