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第十七章机械振动基础.ppt

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第十七 机械振动 基础
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第17章 机械振动基础,(Elements of Mechanical Vibration ),■ ? 单自由度线性系统的自由振动,■ ? 讨 论,■ ? ?振动问题及其分类,第17章 ? 机械振动基础,■ ? 隔振,* ■ ? 两自由度系统的自由振动,* ■ ? 两自由度系统的受迫振动,■ ? 单自由度线性系统的受迫振动,,振动是一种运动形态,是指物体在平衡位置附近作往复运动。,■ ? 振动问题及其分类,振动问题的研究方法-与分析其他动力学问题相类似:,● 选择合适的广义坐标;,● 分析运动;,● 分析受力;,● 选择合适的动力学定理;,● 建立运动微分方程;,● 求解运动微分方程,利用初始条件确定积分常数。,振动问题的研究方法-与分析其他动力学问题不同的是:一般情形下,都选择平衡位置作为广义坐标的原点。,,不计质量的刚性圆轴AB和不计质量的弹性圆轴CD上分别固结有齿轮1、2、3这些齿轮都可以简化为刚性圆盘。 ? ?三个圆盘的半径分别为R1、R2、R3;转动惯量分别为J1、J2、J3。在圆盘1上作用有随时间变化的扭转力偶矩 ? ? ? ? ? M=M0sin(?t),试写出系统的运动微分方程。,■ ?振动问题及其分类,问题引出,,考察齿轮和轴组成的系统,以圆盘3的转角 ? 作为广义坐标。对于任意的 ? 角,系统的势能和动能分别为(初始位置为零势能),? 1-刚性轴AB的转角,主动力M在广义坐标上所作的元功为:,系统广义力为:,应用动能定理(或拉氏方程),得系统运动微分方程:,或,振动问题的共同特点-所考察的系统既有惯性又有弹性。 ? ? 运动微分方程中,既有等效质量( equivalent mass) ,又有等效刚度( equivalent stiffness) ?。,按激励特性划分:,自由振动 ( free vibration ) ?-没有外部激励,或者外部激励除去后,系统自身的振动。,参激振动 ( parametric vibration ) -激励源为系统本身含随时间变化的参数,这种激励所引起的振动。,自激振动 ( self-excited vibration ) -系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。,受迫振动( forced vibraton ) -系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动,这种外部激励不受系统运动的影响。,■ ? ?振动问题及其分类,,按系统特性或运动微分方程类型划分:,线性振动 ( linear vibration ) -系统的运动微分方程为线性方程的振动。,非线性振动 ( nonlinear vibration ) ?-系统的刚度呈非线性特性时,将得到非线性运动微分方程,这种系统的振动称为非线性振动。,■ ? 振动问题及其分类,按系统的自由度划分:,单自由度振动 ( vibration of 5ingledegree of freedom system ) ?— ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?一个自由度系统的振动。,多自由度振动(vibration of multidegree of freedom system) -两 ? ? ? ? ? ? ? ?个或两个以上自由度系统的振动。,连续系统振动-连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 个自由度。,,■ ? 单自由度线性系统的自由振动,★ ? 无阻尼自由振动,★ ? 有阻尼的自由振动,,,,以平衡位置O为原点,建立图示坐标。物块在一般位置的受力如图示,则其振动微分方程为:,得单自由度系统自由振动微分方程的标准形式,通解为:,图示为单自由度系统自由振动的简化模型,它是从实际振动系统中抽象出的简图。,★ ? 无阻尼自由振动,,单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程广义坐标的形式:,,,★ ? 无阻尼自由振动,(natural frequency),(amplitude),,串联弹簧的等效刚度,并联弹簧的等效刚度,★ ? 无阻尼自由振动,,等效质量与等效刚度可通过系统的动能和势能表达式得到:,对于由质量为 mi 的 n 个质点所组成的系统,广义坐标为q,质点的位矢和广义速度分别为:,系统的动能,将 a(q)在平衡位置附近展成泰勒级数,★ ? 无阻尼自由振动,,由于运动微分方程只涉及q及其导数的一次项,因此,动能表达式中可以略去二阶以上的项,于是,对于定常约束,,动能表达为,系统的等效质量,定常约束情形下,系统的势能也仅是广义坐标 q 的函数,在平衡位置附近展成泰勒级数,并仅保留到二阶项,令平衡位置为势能零点,同时考虑到平衡的充分与必要条件,,系统的势能为,系统的等效刚度,例 题 1,,,图示结构中,杆在水平位置处于平衡,若k、m、a、l 等均为已知。,求:系统微振动的固有频率,★ ? 无阻尼自由振动,,解:以质量块的铅垂方向位移y为广义坐标;平衡位置为势能零点位置,此时,弹簧的静载变形量为?st,系统的势能为,等效刚度,系统的动能,等效质量,系统的固有频率,阻尼 ( damping ) -系统中存在的各种阻力:干摩擦力,润滑表面阻力,液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。,物体沿润滑表面运动的阻力与速度的关系,C-粘性阻尼系数或粘阻系数 ( coefficient of viscous damping ),对于由n个质点组成的单自由度系统,各个质点所受的阻力:,系统的阻力在广义位移上所作的元功:,★ ? 有阻尼的自由振动,,引入耗散函数,将其表示成广义速度的形式,其中,★ ? 有阻尼的自由振动,( coefficient of generalized damping ),,★ ? 有阻尼的自由振动,取平衡位置为坐标原点,受力如图。,微分方程为:,用广义坐标表示的系统的运动微分方程为:,化简得:,,本征方程,引入阻尼比,本征值,本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关:,强阻尼(?>1)情形,临界阻尼(?=1)情形,这两种情形下,运动不再是周期型的,而是按负指数衰减。,弱阻尼(?<1)情形,其中,★ ? 有阻尼的自由振动,对于初始条件,,这种情形下,自由振动也不是等幅简谐振动,也是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为 ? d,衰减速度取决于 ?? 0,二者分别为本征值的虚部和实部。,衰减振动的周期,为描述振幅 ? ? ? ?的衰减,引入减幅系数(或称振幅缩减率),两边取对数得对数缩减率,■ 单自由度线性系统的受迫振动,受迫振动——系统在外界激励下产生的振动。,激励形式——可以为力(直接作用力或惯性力),也可以为运动(位移、速度、加速度)。外界激励一般为时间的函数,可以是周期函数,也可以是非周期函数。 ? ? 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。,,有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程,对于单自由度,选择 q=x,,这一微分方程的全解等于齐次方程的全解与非齐次方程的特解之和。,■ ?单自由度线性系统的受迫振动,▲ 简谐激励的响应-全解,,,齐次方程全解: x1(t),,非齐次方程特解: x2(t),有阻尼系统在简谐激励下,运动微分方程的全解,有阻尼系统在简谐激励下,运动微分方程的全解,* ?无激励时自由振动的初始条件响应,其振幅与激励无关。,*伴随激励而产生的自由振动-自由伴随振动,其振幅不仅与系统特性有关,而且与激励有关。,*以激励频率作简谐振动,其振幅不随时间衰减-稳态受迫振动。,第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率?d;由于阻尼的作用,这两部分的振幅都时间而衰减。,由三部分组成:,若系统无阻尼,即使在零初始条件下,也存在自由伴随振动项,并且由于无阻尼,因而振动不会随时间衰减。 ? ? 因此,无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动,一般总是?0和 ?两个不同频率简谐振动的叠加。,运动微分方程的全解:,例 ? 题 ? 2,无阻尼弹簧-质量系统,受激励F0sin?t 作用,,研究初始条件为零时, 和? =? 0两种情形下系统的响应。,解:由,无阻尼系统在零初始条件下的响应,,拍振的时程曲线,引入,2、当? =? 0 ?(? =0)时:,这表明无阻尼系统发生共振时,振幅将随时间无限地增大。,,这时的振动是 ? ? ? ? ? ?时的极限情形,也是拍振,称为共振,有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应:,这表明:稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。,▲ 简谐激励的响应-特解,稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关,仅仅取决于系统和激励的特性。,若令,则有,,幅频特性与相频特性,在低频区和高频区,当 ? <<1时,由于阻尼影响不大,为>>1的区域(高频区或惯性控制区), ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 响应与激励反相;阻尼影响也不大。,幅频特性与相频特性,3、? =1的附近区域(共振区), ? 急剧增大并在 ?=1略为偏左处有峰值。通常将?=1,即? = ?0 称为共振频率。阻尼影响显着且阻尼愈小,幅频响应曲线愈陡峭。 ? ?在相频特性曲线图上,无论阻尼大小,?=1时,总有,? = ?/2 ?,这也是共振的重要现象。,★以上为激励幅值与激励频率无关的幅频特性与相频特性曲线对于激励幅值与激励频率有关的情形,其需要重新研究。,例 ? 题 ?3,惯性测振仪的内部安装有“ 质量(m)-弹簧(k)-阻尼器 (c)”系统。测振仪外壳安置在被测振动的物体上。仪器内置质量块相对于外壳(被测振动的物体)的运动被转换成电信号输出。当被测振动物体的运动规律为xe=asin?t 时,试分析仪器内置质量块相对于外壳(被测振动的物体)的振动。,■ ? 单自由度线性系统的受迫振动,,解:在测振仪外壳上固结动坐标系 O- xe ,系统的牵连运动为平移。 ? ?以质量块相对于仪器外壳(被测振动的物体)的位移 xr 作为广义坐标。 ?系统的运动为非惯性系运动。,FIe,应用达朗贝尔原理,在质量块上附加惯性力FIe ,建立系统的运动微分方程:,其稳态响应为,例 ? 题 ?4,,已知:m 、k 、c, xe=asin?t,试分析:仪器的稳态响应。,■ ? 单自由度线性系统的受迫振动,,解:假设观察者站在不动的地面上观察仪器的运动,仪器在铅垂方向的位移 x 作为广义坐标,以平衡位置为广义坐标的原点。,仪器的运动方程为,激励由两部分组成:一部分是弹簧的运动激励,其幅值与激励频率无关;另一部分是阻尼的运动激励,其幅值与缴励频率成正比,且相位比弹簧激励超前?/2。根据叠加原理,稳态响应也由两部分叠加而成:,对于仅有弹簧的运动激励,稳态响应幅值和滞后相位差:,对于仅有阻尼的运动激励,稳态响应幅值和滞后相位差,,,■ ? 隔 ? ?振,隔振——将振源与需要隔振的物体之间用弹性元件和阻尼元件进行隔离的措施。减振——使振动物体的振动减弱的措施,隔振分为主动隔振和被动隔振,1.主动隔振,主动隔振是将振源与支承它的基础隔开。研究的对象是振源本身。如电机、水泵、铸压机械等。为减小机器的振动对周围环境的影响,垫上橡胶、枕木等弹性支承,以降低振动传到基础上的强度。,主动隔振的简化模型如图所示。,,2.被动隔振,将需要保护的仪器设备与振源隔开,称为被动隔振。研究的对象是减振体,振源是周围环境。例如,在仪器底部垫上软垫;将放置在车辆上的测量仪器用弹簧吊起来等。,主动隔振系数(力的传递率),被动隔振系数(或称位移的传递率),■ ?讨 ? ? 论,● ? ?关于运动微分方程,● ? 关于自由振动,● ?关于简谐激励的受迫振动,● ?多自由度线性系统振动,,建立振动系统运动微分方程,* 拉格朗日方程-对于无阻尼的情形,● ?关于运动微分方程,* 拉格朗日方程-对于有阻尼的情形,,* 动量矩定理-对于有一固定轴,并且绕固定轴转动的系统,特别对于扭转振动的情形,采用动量矩定理更好。,JO-系统绕固定轴 O的转动惯量的代数和;,LO-所有外力对固定轴 O之矩的代数和。力矩方向与广义坐标方向相同时为正,反之为负。,* ?机械能守恒-对于没有能量损耗的保守系统,● ? 关于运动微分方程,,*有阻尼系统仅在弱阻尼时才有振动形态,阻尼使自由振动频率略有降低使振幅按指数衰减,振动过程中有能量耗散。,* 固有频率是系统的固有属性,它仅与系统的等效刚度和等效质量有关。,*无阻尼系统的自由振动是简谐振动,其频率就是固有频率;振幅和初相位取决于初始条件;振动过程中没有能量的补充或耗散。,● ? ? 关于自由振动,,※激励引起的稳态受迫振动,即微分方程的特解。振动频率为激励频率? 。即使系统有阻尼,振幅也不会随时间衰减。,简谐激励的响应包括三部分:,※ 激励引起的自由振动,频率也为? d ,振幅与激励有关。,这两部分振动叠加就是运动微分方程满足初始条件的齐次解。对有阻尼系统,它们的振幅随时间衰减。,稳态受迫振动中最重要的是共振区、弹性区和惯性区幅频特性和相频特性研究。,※ 初始条件引起的自由振动,频率为? d,振幅与激励无关。,● ? 关于简谐激励的受迫振动,* *稳态响应的振幅是稳定的,不会因受干扰而偏离;无阻尼系统共振时,振幅将越来越大。这些现象都可以由稳态受迫振动中的能量关系加以解释。,,● ?多自由度线性系统振动,,* 对于多自由度系统,固有频率怎样定义?,*多自由度系统的振动有什么特点?,*多自由度系统的自由振动是否也是简谐振 动?,一般情形下,多自由度系统的自由振动并不是简谐振动。但在特定条件下可以是简谐振动,此时系统各质点同步到达最大偏离位置或同步到达平衡位置。,本章作业,范:19-2 ? ? ? 19-519-10 ? ? 19-1119-13 ? ? 19-1519-17 ? ? 19-18,哈:19-4 ? ? ? 19-8 ?19-9 ? ? ? 19-1119-14 ? ? 19-2019-24 ? ? 19-2519-28 ? ? 19-3519-37 ? ? 19-40,,

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