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工程数学试题及答案.doc

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工程 数学试题 答案
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青岛大学 淄博继 续 教育进修 学校函授站 工 程数学 下 课 程考试试卷A 卷 班级 14 国 际经济 与贸易 专升本函 授 姓名 学号 分数 闭卷 共 4 页 第 1 页 继续教育学院 2014 年 12 月 《工程数学下》A 卷 一、单项选择(每题 3分,15 分) 1、某人打靶 3 发,事件 Ai 表示“击中 i 发” ,i=0,1,2,3、 那么事件 A=A1∪A2∪A3 表示 ( )。 A、 全部击中、 B、 至少有一发击中、 C、 必然击中 D、 击 中3发 2、对于任意两个随机变量 X和Y,若E(XY)=E(X)E(Y),则有( )。 A、 X和Y独立。 B、 X和Y不独立。C、 D(X+Y)=D(X)+D(Y) D、 D(XY)=D(X)D(Y) 3、下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是( )。 A、 其它 1 | | 0 |) | 1 ( 2 ) ( ? ? ? ? ? ? x x x f 。 B、 其它 2 | | 0 5 . 0 ) ( ? ? ? ? ? x x f C、 0 0 0 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x e x f x ? ? ? ?D、 其它 0 0 ) ( ? ? ? ? ? ? x e x f x , 4、设随机变量 X~ ) 4 , ( 2 ? N , Y~ ) 5 , ( 2 ? N , } 4 { 1 ? ? ? ? X P P , } 5 { 2 ? ? ? ? Y P P , 则有( ) A、 对于任意的 ? , P 1 =P 2B、 对于任意的 ? , P 1 P 25、设X为随机变量,其方差存在,c为任意非零常数,则下列等式中正确的是( ) A、D(X+c)=D(X)、 B、 D(X+c)=D(X)+c、 C、 D(X-c)=D(X)-c D、 D(cX)=cD(X) 二、填空题(每空 3分,共 15分) 6、 设 3 阶矩阵 A的特征值为-1,1,2,它的伴随矩阵记为 A*, 则|A*+3A–2E|= 。 7、设 A= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 0 0 2 ~ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 x ,则 x = 。 8、设有 3 个元件并联,已知每个元件正常工作的概率为 P,则该系统正常工作的概率 为 。 9、设随机变量 X 的概率密度函数为 其它 A x x x f ? ? ? ? ? ? 0 0 2 ) ( ,则概率 ? ? ) 2 1 (X P 。 10、设二维连续型随机变量 ) , ( Y X 的联合概率密度函数为 其它 当 0 , 0 0 ) , ( ) 4 3 ( ? ? ? ? ? ? ? ? y x ke y x f y x , 则系数 ? k 。 三、计算题(每小题 10分,共 50分) 1、求函数 t e t f ? ? ? ) ( 的傅氏变换 (这里 0 ? ? ),并由此证明: t e d t ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 cos 0 2 22、发报台分别以概率 0、6 和 0、4 发出信号“1”和“0” 。由于通讯系统受到干扰,当发出 信号“1” 时,收报台未必收到信号“1” ,而是分别以概率 0、8和 0、2收到信号“1”和“0” ;同时, 当发出信号“0”时,收报台分别以概率 0、9和 0、1收到信号“0”和“1” 。求 (1)收报台收到信号“1”的概率; (2)当收报台收到信号“1”时,发报台确是发出信号“1”的概率。 3、设二维随机变量 ) , ( Y X 的联合概率函数是 青岛大学 淄博继 续 教育进修 学校函授站 工 程数学 下 课 程考试试卷A 卷 班级 14 国 际经济 与贸易 专升本函 授 姓名 学号 分数 闭卷 共 4 页 第 2 页 继续教育学院 2014 年 12 月 其它 0 , 0 0 ) , ( ) 4 2 ( ? ? ? ? ? ? ? ? y x ce y x f y x求: (1)常数 c ;( 2)概率 P(X≥Y ) ;( 3)X与 Y相互独立吗?请说出理由。 4、将 n个球随机的放入 N个盒子中去,设每个球放入各个盒子是等可能的,求有球盒子数 X 的数学期望。 5、设一口袋中依此标有 1,2,2,2,3,3 数字的六个球。从中任取一球,记随机变量 X 为 取得的球上标有的数字,求 (1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX 四、证明题(共 10分) 1、设a=(a1,a2,?,an) T ,a1≠0,其长度为║a║,又A=aa T , (1)证明A 2 =║a║ 2 A; (2) 证明a是A的一个特征向量,而 0是A的n-1重特征值; (3) A能相似于对角阵Λ吗?若能,写出对角阵Λ、 五、应用题(共 10分) 1、 设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量 X是随机变量,它在[2000,4000]( 单位: 吨 )上服从均匀分布,又设每售出这种商品一吨,可为国家挣得外汇 3 万元,但假如销售不 出而囤积在仓库,则每吨需保养费 1万元。问需要组织多少货源,才能使国家收益最大。 青岛大学 淄博继 续 教育进修 学校函授站 工 程数学 下 课 程考试试卷A 卷 班级 14 国 际经济 与贸易 专升本函 授 姓名 学号 分数 闭卷 共 4 页 第 3 页 继续教育学院 2014 年 12 月 工程数学参考 答案 及评分标准 一、 选择题 (每小题3 分, 共15 分) 1、B 2、C 3、D 4、A 5、A 二、 填空题 (每小题3 分, 共15 分) 6、 9 7、 1 8、 1–(1 –P) 39、 3/4 10、 12 三、计算 题 (每 题10 分 ,共50 分) 1、解答 :函数 f(t)的付氏变换为: F(w)= dt e dt e dt e e e t j t j t j t t ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ) ( 0 ) ( | | | | ] [ ? ? ? ? ? ? ?(3 分) = 2 2 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j j(2 分) 由付氏积分公式有 f(t)= [ 1 ? ? F(w)]= ? ? ? ? d e F t j ? ?? ? ? ) ( 2 1(2分) = ? ? ? ? ? ? ? d t j t ? ?? ? ? ? ? ) sin (cos 2 2 1 2 2== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d t d t ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 0 2 2 2 2 cos 2 cos 2 2 1(2分) 所以 t e d t ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 cos 0 2 2(1 分) 2、解答: 设 A1=“发出信号1”, A0=“发出信号0 ”, A=“收到信号 1” (2分) (1)由全概率公式 (1分) 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) (2分) =0、8x0、6+0、1 x0、4=0、52 (1 分) (2)由贝叶斯公式 (1分) 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) (2分) =0、8x0、6/0、52=12/13 (1分) 3、解答: 一、 由联合概率密度的性质有 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 1 ) , ( dy y x f dx 即 ? ? ?? ? ? ?? ? 0 ) 4 2 ( 0 1 dy ce dx y x(2分) 从而 c=8 (2 分) (2) ?? ? ? ? ? y x dxdy y x f Y X P ) , ( ) ( ? ? ? ? ? ?? x y x dy e dx 0 ) 4 2 ( 0 3 2 8 (2分) (3) 当 x>0 时, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 ) 4 2 ( 2 8 ) , ( ) ( x y x X e dy e dy y x f x f (2 分) 当 x<=0时, 0 ) ( ? x f X同理有 其它 0 0 4 ) ( 4 ? ? ? ? ? ? y e y f y Y(1 分) 因 y x y f x f y x f Y X , ) ( ) ( ) , ( ? ? 故 X 与 Y相互独立 (1 分) 4、解答: 设 否则 个盒子有球 第i X i ? ? ? ? 0 1i =1,2, …,N (2 分) 则 ? ? ? N i i X X 1(1 分) 因 n n i N N X P ) 1 ( ) 0 ( ? ? ? (2分) 青岛大学 淄博继 续 教育进修 学校函授站 工 程数学 下 课 程考试试卷A 卷 班级 14 国 际经济 与贸易 专升本函 授 姓名 学号 分数 闭卷 共 4 页 第 4 页 继续教育学院 2014 年 12 月 n n i i N N X P X P ) 1 ( 1 ) 0 ( 1 ) 1 ( ? ? ? ? ? ? ? (2分) 因而 n n i i i N N X P X P EX ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 0 ( 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2分) 所以 ) ) 1 1 ( 1 ( 1 n N i i N N EX EX ? ? ? ? ? ?(2分) 5、解答: (1)随机变量 X 的取值为 1,2,3。 (1分) 依题意有: 6 2 ) 3 ( ; 6 3 } 2 { ; 6 1 } 1 { ? ? ? ? ? ? X P X P X P (3 分) X 的分布函数 } { ) ( x X P x F ? ? (1分) 由条件知:当 1 ? x 时, ; 0 ( ? ) x F (1 分) 当 2 1 ? ? x 时, ; 6 1 ) 1 ( ( ? ? ? X P x F ) (1 分) 当 3 2 ? ? x 时, ; 3 2 ) 2 ( ) 1 ( ( ? ? ? ? ? X P X P x F ) (1分) 当 3 ? x 时, ; 1 ( ? ) x F (1 分) (2)EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 (1分) 四 、 证明题 (共10 分) (1) A 2 =aa T ·aa T =a T a ·aa T=║a║ 2 A (2 分) (2)因 Aa= aa T·a=a T a·a= ║a║ 2 a (2 分) 故a是A 的一个特征向量。 又A 对称,故 A必相似于对角阵 (1 分) 设A∽ diag(λ1,λ2,?,λn)=B, 其中λ1,λ2,?,λn是 A的特征值 (1分) 因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分) 从而λ1,λ2,?,λn中必有n-1 个为 0, 即0是A的n-1重特征值 (1分) (3) A对称,故A必相似于对角阵Λ, Λ=diag(║a║ 2 , 0,?,0) (2分) 五、应用 题 (共10 分) 解答: 设 y 为预备出口的该商品的数量,这个数量可只介于 2000 与 4000 之间,用 Z 表示国家的收益(万元), (1 分) 则有 y X y X X y X y X g Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( 3 3 ) ( (4 分) 因 X服从R(2000,4000), 故有 其它 4000 2000 0 2000 / 1 ) ( ? ? ? ? ? ? x x f X(1分) 所以 dx y dx x y x dx x f x g EZ y y X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4000 2000 2000 3 2000 ) ( 3 ) ( ) ( =–( y 2–7000y + 4? 10 6 ) /1000 (3分) 求极值得 y=3500 (吨) (1分)
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