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工程数学教案.doc

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工程 数学教案
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1 课 程 教 案 2011~2012 学 年第 一学期 课 程 编 号 课 程 名 称 工程 数学 主 讲 教 师 胡丽 姣 职 称 助教 系 (部) 名称 公共课 部 2011 年09 月 28 日 2 课程编号 课程名称 工程数 学 课程类型 公 共 课( √ ) 职 业基础 课 ( ) 职业技术 课( ) 职 业技能 课 ( ) 专业选修 课( ) 授课班级 及人数 焊接1101 1102 模具1101 1102 总学时/ 学期 学时 48 总学分/ 学期 学分 3 学时分配 理论讲授 学时:48 实训( 实验) 学 时:0 考核方式 考试( √ ) 考查( ) 考核形式 闭卷(√ ) 开卷( )口试 ( )上 机( )其它( ) 教材名称 工程数学 教 学 参 考 书 1 、 《 高 等数 学 》主编 : 朱 永银 、 肖业胜 ; 武 汉大 学 出 版社;2004 年6 月第1 版。 2 、 《工程数 学》 主 编: 夏建军 ; 华中 科技大学 出版社 ; 2007 年8 月第1 版。 3 题目: 数列极限的定义 函数的极限 课时:2 教 学目 的、要 求: 理解数列 极限的 概念, 会用数列 极限的 性质求 一些数列 的极限,理解 函数极限 的概 念; 会用函数极限的 定义和性质求一些函数在某点处的极限 ; 重点: 数列极限的定义,用 数 列极限的性 质求一些数列 的极限, 函 数 极限 的定 义 ,求函 数在某点处的极 限; 难点: 计算 数列 极限, 函 数在无穷远处的极限的概念的理解。 内容: 1.数 列的 定义 无穷 多个 数 , , , , , 3 2 1 n x x x x 按某些 规律 一个一 个地 进行 排列 , n x 为 数列的 第 n 项 , 又 是通项 。 例: (1 ) , 1 , , 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1 : n 1 n ? ? ? ? ? ? ; 趋 近于 0 0 1 lim n ? ? ? n(2 , 1 1 , , 4 1 1 , 3 1 1 , 2 1 1 , 2 : n 1 1 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 趋近 于 1 1 1 1 lim n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n(3) ? ? , 2 , , 8 , 6 , 4 , 2 : 2n n(4) ? ? ? ? , 0 , 2 , , 0 , 2 , 0 , 2 : 1 1 1 ? ? ? n(5) ? ? ? ? 是 常 数 C C C C C , , , , :C C ? ? ? n lim分析以 上五 个数 列的 特性 ,得出 数列 的极 限概 念。 2、 极限 的定 义: 设有 数列 ? ? n x ,A 为常 数, 当 n 无限 增大 时, n x 无限趋 近于 A , 则数 列极 限存在 或收 敛, 极限 是 A 或 ? ? n x 收敛 于 A 。 记为 ? ? ? ? ? ? ? ? n A A x n n x lim n 或若 ? ? n x 极限 不存 在, 则 ? ? n x 发散。 数列的 几何 解释 : 将 A 及 , , , , , 3 2 1 n x x x x 在数轴 上一 一表 示出 来 , 当 n 无限 增大 时 , 数 列 ? ? n x 对应 的点 n x 聚集 在 A 点 附 近且无 限趋 近 于 A 点。 单调数 列: ? ? n n x x x x x 3 2 1 ,则 ? ? ? ? ? 单调 增加 ; 4 ? ? n n x x x x x 3 2 1 ,则 ? ? ? ? ? 单调 减少 ; ? ? n n x x x x x 3 2 1 ,则 ? ? ? ? ? 严格 单调 增加 ; ? ? n n x x x x x 3 2 1 ,则 ? ? ? ? ? 严格 单调 减少 。 例, ? ? ? ? ? ? n 13、数 列极 限的 性质: (1 ) 若收敛 ,则 极限 唯一 。 (2 )若 数列收 敛, 则有 界。 注: 有界 数列 不一 定有 极限, 如 ? ? ? ? 1 1 1 ? ? ? n 。 (3 ) 单 调有界 数列 必存 在极 限。 4 、收敛数列运算法则: (1 )若 , lim lim B y A x n n n n ? ? ? ? ? ? , 则 B y x x n n n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A lim lim ) y ( lim 。 例: 1 lim ? ? ? n n n(2)若 , lim lim B y A x n n n n ? ? ? ? ? ? , 则 B y x x n n n n n n n A ) lim )( lim ( ) y ( lim ? ? ? ? ? ? ? ? 。 例: 2 3 lim n n ? ?推 广: ) k ( ; lim 为 正 整 数 为 常 数 , c n c k n ? ? 。 (3)若 , 0 lim lim ? ? ? ? ? ? ? B y A x n n n n , 则 B A y x y n n n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? lim lim ) x ( lim 。 例 1 2 3 2 lim 2 2 ? ? ? ? ? n n n n , . 0 , 0 a n ) , , 2 , 1 , 0 , , 2 , 1 , 0 ( , ), , , ( , lim 0 0 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b m j k i b a m k m k b n b n b n b a n a n a n a j i m m m m k k k k n 无关的常数, 是与 . 0 x x ? 时 函数 ) (x f 的 极限 讨论抛物线 2 x y ? 在 2 ? x 处的切线的斜率问题。 定义: 设函数 ) (x f 在 0 x 的 附 近 ( 在 点 0 x 也 可 以 无 意 义 ) 有 定 义 , A 是一个 确定的常数.若当 x 无限趋近于 0 x 时,函数 ) (x f 无限趋近于常数A ,则称A 是5 函数 ) (x f 在点 0 x 的极限(或 ) (x f 在点 0 x 的极限存在) ,记为 A x f x x ? ? ) ( lim 0 或 ) ( ) ( 0 x x A x f ? ? . 两个常 用结 论: (1 ) ? ? 为常数 C C C x x ? ? 0 lim ; (2 ) 0 x lim 0 x x x ? ? . 例: (1 ) 16 x 4 - x lim 2 4 ? ? x(2 ) sinx lim a ? x(3 ) x x 1 sin lim 0 ?2. 单侧极限 左极限 如果函数 ) (x f 当x 从 0 x 的左侧( 即 0 x x ? ) 趋于 0 x 时以A 为极限, 则 A 称为 ) (x f 在 0 x 的 左极限.记作 A x f x x ? ? ? ) ( lim 0 或 A x f ? ? ) 0 ( 0 . 右极限 如果函数 ) (x f 当x 从 0 x 的右侧( 即 0 x x ? ) 趋于 0 x 时以 A 为极限,则 A 称为 ) (x f 在 0 x 的右极限.记作 A x f x x ? ? ? ) ( lim 0 或 A x f ? ? ) 0 ( 0 . 左极限与右极限皆称为 单侧极限,它与函数极限( 双侧极限) 有如下关 系: A x f x x ? ? ) ( lim 0 的充要条件是 A x f x f ? ? ? ? ) 0 ( ) 0 ( 0 0 . 3. ? ? x 时 函数 ) (x f 的 极限 例。讨论函数 x x 1 ) ( f ? ,当(1) ? ? ?? ? , 0 x ;( 2) ? ? 0 , ? ? ? x ;(3) ? ? ?? ? ? ? , x 的变化情况。 函数在正无穷远处的极限: A x f x ? ?? ? ) ( lim 或者 ) ( ) ( ?? ? ? x A x f 。 函数在负无穷远处的极限: A x f x ? ? ? ) ( lim - 或者 ) - ( ) ( ? ? ? x A x f 。 函数在负无穷远处的极限: A x f x ? ? ? ) ( lim 或者 ) ( ) ( ? ? ? x A x f 。 6 题目: 无穷 大与 无穷 小, 函数极 限的 运算 法则 ,符 合函数 的极 限, 两个 重要 极限。 课时:2 重点: 掌握 极限 的性 质及 四则运 算法 则。 了解极 限存 在的 两个 准则 , 并会 利用 它们 求极 限, 掌 握利用 两个 重要 极限 求极 限的 方 法。 理解无 穷小 、无 穷大 的概 念,掌 握无 穷小 的比 较方 法,会 用等 价无 穷小 求极 限。 难点: 无穷 小的 比较 方法 ,两个 重要 极限 的灵 活运 用。 内容: 1. 无穷小的定义: 如 果在 自变量 x 的某 种趋 向下 , 函 数 ) (x f 以 0 为极 限, 则称 在 x 的这种 趋向下 ,函 数 ) (x f 是无穷 小量 。 (书中例子) 注意: 无穷 小时 一个 以 0 为极限 的函 数, 不能 把它 与很小 的常 数等 同, 在常 数中( 除 0 外) 没有无 穷小 无穷小 的性 质: (1) 有限个 无穷 小的 代数 和是 无穷小 。 (2) 有界函 数与 无穷 小的 乘积 还是无 穷小 。 2. 无穷大的定义: 如果 在 自变量 x 的某 种趋 向下 , 函 数 ) (x f 的绝 对值 以 ? 为极限 , 则 称在 x 的这种 趋向 下, 函数 ) (x f 是无 穷大量 。 (书中例子) 注:这时函数的极限 不存 在但仍记做 ? ? ? ) ( lim 0 x f x x ,表示函数在x 的变化过程中的变化 趋 势。 无穷大 的性 质: (1) 两个无 穷大 的乘 积仍 然是 无穷大 。 (2) 有界函 数与 无穷 大的 和是 无穷大 ; (3) 无穷 小和 无穷 大的 关 系 在自变 量的 同一 变化 过程 中, 如 果 ) (x f 为无穷 大, 则 ) ( 1 x f 为 无穷小 ; 反 之, 如 果 ) (x f 为无穷 小, 且 0 ) ( ? x f 则 ) ( 1 x f 为无 穷大 即:非 零的 无穷 小量 与无 穷大量 是倒 数关 系: 当 0 ? n x 时:有 7 ? ? ? ? ? ? ? ? n x x x 1 lim 0 lim 3. 无穷小的比较: 设 ) (x f 和 ) (x g 都是同 一变 化过 程下 的无穷 小, 且 0 ) ( ? x g 。 (1) 若 0 ) ( ) ( lim ? x g x f , 则称 ) (x f 是 关于 ) (x g 的高 阶无穷 小,记为 )) ( (( ) ( x g x f ? ? , 也称 ) (x g 是关于 ) (x f 的低 阶无 穷小 ; (2) 若 0 ) ( ) ( lim ? ? a x g x f ,则称 ) (x f 和 ) (x g 是同阶无穷小 ,特别当 1 ) ( ) ( lim ? x g x f ,则 称 ) (x f 和 ) (x g 是等价 无穷 小, 记为 ) ( ) ( x g x f ~ 。 分析书 中例 题。 4. 函数极限的运算法则 定理 1.9 若 A x f x x ? ? ) ( lim 0 , B x g x x ? ? ) ( lim 0 ,则 有: B A x g x f x g x f x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( lim ) ( lim )) ( ) ( ( lim 0 0 0 ; AB x g x f x g x f x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ) ( lim ) ( lim )) ( ) ( ( lim 0 0 0 ; ) 0 ) ( lim ( ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B x g B A x g x f x g x f x x x x x x x x 。 推论 1.3 黑板演 示书 中例 题 1.10 ,1.11 ,1.12. 5. 复合函数的极限运算法 则 回忆初 等函 数 , 复合 函数 的概念 设 函数 )} ( [ x g f y ? 是 由函 数 ) (u f y ? 与 ) (x g u ? 复 合 而成 , )] ( [ x g f 在点 0 x 的 某 去心 邻 域内 有定 义 , 若 0 ) ( lim 0 u x g x x ? ? , A u f u u ? ? ) ( lim 0 , 且存在 0 0 ? ? ,当 ) , ( 0 0 0 ? x u x ? 时,有 0 ) ( u x g ? ,则 A u f x g f u u x x ? ? ? ? ) ( lim )] ( [ lim 0 08 6. 两个重要极限 通过书 中的 表格 分析 推出 该结论 。 (1) 1 sin lim 0 ? ? x x x例: x x x tan lim 0 ?2 0 cos 1 lim x x x ? ?x x x arcsin lim 0 ?(2) x x x ) 1 1 ( lim ? ? ?例: x x x ) 1 1 ( lim ? ? ? , x x 1 0 ) x 1 ( lim ? ?分析书 中例 题。 9 题目: 函数 的连 续性 课时:2 重点: 理解 函数 连续 性的 概念( 含左 连续 与右 连续 ) ,会判 别函 数间 断点 的类 型。 了解连 续函 数的 性质 和初 等函数 的连 续性 ,了 解闭 区间上 连续 函数 的性 质( 有 界 性 、 最大值 和最 小值 定理 、介 值定理 ) , 并会 应用 这些 性 质。 难点: 判别 函数 间断 点的 类型, 应用 函数 的性 质解 题。 内容: 1. 左连续,右连续 左连续 的定 义: 若函 数 f 在点 0 x 有 ) ( ) 0 ( 0 0 x f x f ? ? ,则称 函数 f 在点 0 x 左连 续; 右连续 的定 义: 若函 数 f 在点 0 x 有 ) ( ) 0 ( 0 0 x f x f ? ? ,则称 函数 f 在点 0 x 右连 续; 连续的 定义 : 函 数 f 在点 0 x 连续, 当 且仅 当该 点的 函数 值 ) ( 0 x f 、 左 极限 ) 0 ( 0 ? x f 与右 极限 ) 0 ( 0 ? x f 三者相 等: ) 0 ( ) ( ) 0 ( 0 0 0 ? ? ? ? x f x f x f 或者: 当且 仅当 函数 f 在点 0 x 有极限 且此 极限 等于 该点 的函数 值 。 ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x ? ?函数在 区间 (a,b )连 续指 :区间 中每 一点 都连 续。 函数在 区间 [a,b ] 连 续指 在区间 (a,b ) 连 续, 且在 左端点 处右 连续 , 在 右端 点处左 连 续。 注:左 右连 续, 在区 间上 连续( 注 意端 点) 连 续函 数的 图像 是一 条连续 且不 间断 的曲 线 连续函 数的 四则 运算 : 1 ). ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x ? ? 且 ) ( ) ( lim 0 0 x g x g x x ? ? , ? ? ? ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 0 0 x g x f x g x f x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ). ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x ? ? 且 ) ( ) ( lim 0 0 x g x g x x ? ? , ? ? ? ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 0 0 x g x f x g x f x x ? ? ? ?3). ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x ? ? 且 0 ) ( ) ( lim 0 0 ? ? ? x g x g x x , 10 ? ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 0 0 x g x f x g x f x x ? ?2. 反函数连续定理: 如果 函 数 f D x x f y f ? ? ) ( : 是严 格单 调增 加 ( 减少) 并且连 续的 , 则 存 在 它的 反 函数 1 ? f : f D y y f x ? ? ? ) ( 1 并且 1 ? f 也 是 严 格单 调 增加 ( 减少) 并 且 连续的 。 注: 1 ) 反 函数 的定 义域 就是原 来的 值域 。 2)通常 惯用 X 表示 自变 量,Y 表 示因 变量 。反 函 数也可 表成 1 ) ( 1 ? ? ? ? f D x x f y3. 复合函数的连续性定理 : 设 函数 f 和g 满足复 合 条件 g ? f D ? ,若函 数g 在点 x 0 连续; 0 0 ) ( u x g ? ,又 若 函数 f 在点 0 u 连续, 则复 合函 数 g f 在点 0 x 连续 。 注 :复 合函 数的 连续 性 可以保 证极 限号 与函 数符 号的交 换: )) ( lim ( )) ( ( lim 0 0 x g f x g f x x x x ? ? ?从这 些基本初等函 数出, 通过若 干次四则运算 以及复合, 得到的种种函 数统称为初 等函数, 并且: 初等 函数 在其 定义 区间内 连续 。 4. 间断点 若: ) 0 ( ) ( ) 0 ( 0 0 0 ? ? ? ? x f x f x f 中有某 一个 等式 不 成立, 就间 断, 分为 : 1、 第一类 间断 点: ) 0 ( ) 0 ( 0 0 ? ? ? x f x f 即函数 在点 的左 右极 限皆 存在但 不相 等, 曲线 段上 出现一 个跳 跃。 例:见 教材 。 2 、 第二类间断 点 0 x :左极限 ) 0 ( 0 ? x f 与 右极限 ) 0 ( 0 ? x f 两者 之中至少有一 个 不 存在 例:见 教材 。 11 3.若 ) 0 ( ) 0 ( 0 0 ? ? ? x f x f ,但 ) ( ) 0 ( 0 0 x f x f ? ? ,且 ) ( ) 0 ( 0 0 x f x f ? ? , 则 称 0 x 是函 数 ) (x f 的可 去间 断点 。 例:见 教材 。 5. 闭区间上连续函数 的性 质 1)、(有界性定理) : 如 果 函数 f 在闭区 间 ? ? b a, 上连续 ,则 它在 ? ? b a, 上有界 。 2). (最大、最小值 定 理) 设函数 : D x x f y ? ? , ) ( 在上有 界, 现在 问在值 域 ? ? D x x f y y D ? ? ? ), ( 1中是否有一个 最大的实数 ?如果存在, 譬如说它是 某个点 D x ? 0 的函数值 ) ( 0 0 x f y ? , 则记 ? ? ) ( max 0 x f y D x ? ? 叫做函 数 在 D 上的 最 大值。 类 似 地 , 如 果 f D 中 有 一 个 最 小 实 数 , 譬 如 说 它 是 某 个 点 f D x ? 2 的 函 数 值 ) ( 2 2 x f y ? ,则记 ? ? ) ( min 2 x f y f D x ? ? 称为 函数 在上 的最 小值 。 零点 定义 : 若 x 0 使 0 ) ( 0 ? x f ,则 称 x 0 为函 数的 零点 3 ) . ( 零点定理 ) : 如 果 函数 f 在闭区 间 ? ? b a, 上连续 , 且 f 在区间 ? ? b a, 的两 个端 点异 号: 0 ) ( * ) ( ? b f a f 则至少 有一 个零 点 ) , ( b a ? ? ,使 0 ) ( ? ? f 4). (中值定理) : 如果 函数 f 在闭区 间 ? ? b a, 上连续 , 则 f 在 ? ? b a, 上 能取到 它的 最 大 值 和最小 值 之间 的任 何一 个中间 值。 作业 :见 课后 各章 节练 习。 12 题目: 导数的概念 课时:2 教 学目 的、要 求: 理解导数的概念和函数变化率的思想 , 会用导数定义求一些简单函数的导数, 基本初等函数的导数。 教 学重 点、难 点 重点:导数的定义 ,用导数的定义求一些函数的导数 难点:导数作为变化率的概念的理解 引入 :物体沿直线运动 的在某一时刻的瞬时速度问题 设某点沿直线运动,于时刻t 在直线上的位置的坐标为s ,这样,运动 完全由某个函数 ) (t f s ? 所确定,这个函数称为位置函数。对于最简单的情形, 即该动点在某一时间内做匀速直线运动,那么它的速度就是 所 花 的 时 间 经 过 的 路 程 ,如果 运动不是匀速的,首先取从时刻 0 t 到t 这样的一个时间间隔,在这段时间内,动 点从位置 ) ( 0 0 t f s ? 移动到 ) (t f s ? 的平均速度就是 0 0 0 0 ) ( ) ( t t t f t f t t s s ? ? ? ? ? , 如果时 间间隔很短, 这个比值也可用来说明动点在时刻 0 t 的速度。 但对于动点在时刻 0 t 的速度的精确概念来说, 这样做是不够的, 而 更确切的应当这样: 令 0 t t ? ,取 上式的极限, 如果这个 极限存在, 设为v ,即 0 0 ) ( ) ( lim 0 t t t f t f v t t ? ? ? ? ,v 称为动点在 时刻 0 t 的(瞬时)速度。 1. 导数 的定 义 从上面讨论的问题 看出,非 匀速直线运动 的速度和 切线的斜率 问题都归结为如下的极限: 0 0 ) ( ) ( lim 0 x x x f x f x x ? ? ? , (*) 这里 0 x x ? 和 ) ( ) ( 0 x f x f ? 分别是函数 ) (x f 的自变量的增量 x ? 和 函 数 的 增 量 y ? : 0 x x x ? ? ? , ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 x f x x f x f x f y ? ? ? ? ? ? ? , 13 因 0 x x ? 相当于 0 ? ?x ,故(*)式也可以写成 x y x ? ? ? ? 0 lim 或 x x f x x f x ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( lim 0 0 0 。 由以上内容,我们得出函数的导数概念。 定义: 设函数 ) (x f y ? 在点 0 x 的某个邻域内有定义, 当自变量x 在 0 x 处取得增量 x ? (点 x x ? ? 0 仍在该邻域内) 时, 相应的函数取得增量 ) ( ) ( 0 0 x f x x f y ? ? ? ? ? 如果 y ? 和 x ? 之比当 0 ? ?x 时 的 极 限 存 在 , 则 称 函 数 ) (x f y ? 在点 0 x 处可导, 并称这个极限为函数 ) (x f y ? 在点 0 x 处的导数,记为 ) ( 0 x f ? ,即 x x f x x f x y x f x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( lim lim ) ( 0 0 0 0 0 , 也可记作 0 x x y ? ? , 0 x x dx dy ? 或 0 ) ( x x dx x df ? 。 注: (1)可导的等价概念 函数 ) (x f 在点 0 x 处可导 ? 函数 ) (x f 在点 0 x 具有导数或导数存在。 (2 )导数常见的不同形式的定义式 h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 ? ? ? ? ? 或 0 0 0 ) ( ) ( lim ) ( 0 x x x f x f x f x x ? ? ? ? ? 。 (3 )如果极限不存在,就说函数函数 ) (x f 在点 0 x 处不可导。 2. 由 定义求 导数 的步骤: ); ( ) ( ) 1 ( 0 0 x f x x f y ? ? ? ? ? 求增量 ; ) ( ) ( ) 2 ( 0 0 x x f x x f x y ? ? ? ? ? ? ? 算 比 值 . lim ) 3 ( 0 x y y x ? ? ? ? ? ? 求极限 习 题: 求一些函数的导 数。 (1)、 ) ( ) ( 为常数 C C x f ? (2) 、求函数 ) ( ) ( ? ? ? N n x x f n 在 a x ? 处的导数。 (3)、 ) sin( ) ( x x f ? 14 3. 函 数的变 化率 问题 因变量增量与自变量增量之比 x y ? ? 是因变量y 在以 0 x 和 x x ? ? 0 为端点的区间 上的平均变化率, 而导 数 ) ( 0 x f ? 则是因变量 在点 0 x 处的变化率, 它反应了因变 量 随自变量的变化而变化的快慢程度。 4.导 函数 的概念 如果函数 ) (x f y ? 在开区间I 内的每一点处都可导, 就称函数 ) (x f 在开区间 I 内可导。 这时, 对于任一 I x ? ,都对应着 ) (x f 的一个确定的导数值, 这样 就构 成了一个新的函数,这个函数叫做原来函数 ) (x f y ? 的 导函数 。 导函数的定义式 x x f x x f y x ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( lim 0 或 h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( 0 ? ? ? ? ?可导与连续的关系:若函数 ) (x f 在 0 x 处可导,则函数 ) (x f 在点 0 x 处连续,反 之不然,函数 ) (x f 在不连续点上一定不可导。 5.基 本初 等函数 的导 数: (1)、 ) ( ) ( 为常数 C C x f ? (2) 、求函数 ) ( ) ( ? ? ? N n x x f n 在 a x ? 处的导数。 (3)、 ) sin( ) ( x x f ? (4) 、 ) 1 0 ( a y x ? ? ? a a 且 15 题 目: 导数的 四则 运算, 复合 函数、 反函 数求导 法则 课 时:2 教 学目 的、要 求 : 熟练掌握 导数 的四则 运算 法则和复 合函 数的求 导法 则, 了解 导数 的四则 运算 法则和一 阶 了解高 阶导 数的 概念 ,会 求某些 简单 函数 的 n 阶导 数, 会 求反 函数 的导 数。 教学重难点 : 重 点: 用导数的四则运 算法则计算函数的导数 难 点: 复合函数的导数 ,反函数的导数 内 容: 1.导 数的 四则运 算法 则: 和 的求 导法则 : 设函数 ) ( ), ( x v x u 在点x 处都可导, 则函数 ) ( ) ( x v x u y ? ? 在点x 处 可导,且导数为 ) ( ) ( ? ? ? ? ? x v x u y 或 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ? ? ? ? ? ? x v x u x v x u 。 积 的 求 导 法 则 : 设函数 ) ( ), ( x v x u 在点x 处都可导,则函数 ) ( ) ( x v x u y ? 在点x 处 可导,且导数为 ) ( ) ( ) ( ) ( x u x v x v x u y ? ? ? ? ? 。 商的求导法则 : 设函数 ) ( ), ( x v x u 在点x 处 都 可 导 ,且 0 ) ( ? x v 则函数 ) ( ) ( u x v x y ? 在 点x 处可导,且导数为 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 x v x v x u x v x u x v x u y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。 2.反函数的求导法则 : 设函数 ) (x f y ? 在点x 的 某个 邻域内 连 续且 严格 单调 增 加 (减少) , ) (x f ? 存在,且 0 ) ( ? ? x f ,则函数 ) (x f y ? 的反函数 ) (y x ? ? 在点y 处 可导,且 ) ( 1 ) ( x f y ? ? ? ? ,即反函数的导数是其原函数导数的倒数。 3.导 数基 本公式 表 ( 见 教材) 。 4.复 合函 数的导 数: ? ? x u ? ? 在 X 有导 数 dx du , ? ? u f y ? 在对 应点u 有 导数 du dy , 则复合 函数 ? ? ? ? x f y ? ? 在 X 处也 有导 数,即 ? ? ? ? x u f dx du du dy dx dy / / ? ? ? ? ? 。 注: 熟练掌握复合函数求导运算方法后, 中间变量可以不写出, 只要分清函数的 复合关系并暗记心中,就能直接计算出复合函数的导数。 对数求导法: 有些函数用对数求导法求导非常简便, 其原理和方法由接下来 的例题说明。 16 5.高 阶导 数: 二 阶导 数: ? ? ? ? x x f x x f x x dx y d x f x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 / 0 / 0 0 2 2 lim ) (? ? ? ? 0 0 / / x x x x x f x f lim 0 ? ? ? ?同理函 数 ) (x f ? ? 在点x 处的导数为函数 ) (x f y ? 的三阶导数记为 ) (x f ? ? ? 。 以此类 推, 函数 ) (x f y ? 在点x 处的 1 n ? 阶导数的导数为 函数 ) (x f y ? 在点x 处 的 n 阶导数。 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 例: 自由落体运动瞬时速度和加速度的问题。 17 题 目: 微分 课 时:2 教 学目 的,要 求 理解导数 和微 分的概 念与 微分的关 系, 了解微 分的 四则运算 法则 和一阶 微分 形式的 不变性 ,会 求函 数的 微分 。 重 点: 微分的概念, 微 分的运算法则。 难 点: 微分与导数的关 系,一阶微分形式不变性 内 容: 1.微分 : 讨 论当 0 ? ?x 时, ) ( 0 x x f ? ? 的近 似求法. 先看一 个例 子: 设 2 ) ( x x f y ? ? ,在点 0 x 的领域 内给 一增 量 x ? ,计算 ) (x f 的增量 y ? 。 . 0 3 ) ( ) ( 3 3 ) ( ) ( ) ( 2 0 3 2 0 2 0 3 0 3 0 0 0 ) (当 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x x x x x x x x x x f x x f y这是因 为 0 ] ) ( 3 [ lim ) ( ) ( 3 lim 2 0 0 3 2 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x x x x x x x 。即 3 2 0 ) ( ) ( 3 x x x ? ? ? ? 是 关于 x ? 的高阶无穷小(当 0 ? ?x ) 。 亦 即 3 2 0 2 0 ) ( ) ( 3 3 x x x x x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? 是无穷小 (当 0 ? ?x ) ,用 x x ? ? 2 0 3 代替 y ? ,计 算方 便 且误差 很小 。 定义 2.2 若 ) (x f y ? 在点 0 x 的领域 内 给一增 量 x ? ,相应 的函 数 ) (x f y ? 的增量 y ? 可表 示为: . 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x A x f x x f y ? 其中, A 是与 x ? 无关 的常 数, 0 ) ( lim 0 ? ? ? ? ? x x x ?, ) ( x ? ? 是关 于 x ? 的高阶 无穷 小 ( 0 ? ?x )。 则称函 数 ) (x f 在点 0 x 处可微 , x A ? ? 称 为函数 ) (x f 在点 0 x 处的 微分 , 记 为dy 或 ) (x df , 即 x A dy ? ? ? 。 注意 x A ? ? 是关于 x ? 的一次函数 ,当 0 ? ?x 时, x A dy y ? ? ? ? ~ , x A ? ? 也称为 ) ( x x A y ? ? ? ? ? ? ? 的线性 主要 部分 。 可微与可导的关系 设 ) (x f y ? 在点 0 x 出可 微, 则有 ) ( x x A y ? ? ? ? ? ? ? , 所以 x x A x y ? ? ? ? ? ? ) ( ? , 18 A x x A x x A x y x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( lim lim ) ) ( ( lim lim 0 0 0 0 ? ? 。 由导数 的定 义, 则有 A x f ? ) ( 0 '从而有 x x f x A dy ? ? ? ? ? ) ( 0 ' 。 反过来 , 若 ) ( lim 0 ' 0 x f x y x ? ? ? ? ? , 则有 ? ? ? ? ? ) ( 0 ' x f x y 。 当 ( 0 ? ?x 时, 0 ? ? ; 这是 收 敛极限 的一 个定 理, 仅在 此说明 ) 所以 x x x f y ? ? ? ? ? ? ? ) ( 0 ' 。 (当 0 ? ?x 时, 0 ? ? ) 因为 0 lim lim 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x x,由 微分 定义 ,有 . ) ( 0 ' x x f dy ? ? 综合以 上情 况, 归纳 出以 下定理 。 定理 2.3 函数 ) (x f y ? 在点 0 x 可微 的 充要条 件是 ) (x f y ? 在点 0 x 可导 ,且 . ) ( 0 ' x x f dy ? ? 解析 例 2.23 一般地 ,函 数 ) (x f y ? 在任意 点 x 的微分 . ) ( 0 ' x x f dy ? ? 称为 函数 的微 分。 解析例 7 5x y? 微分的 几何 意义 。 ( 见教 材 ) 2. 微分的运算法则和公式 见教材。 3. 一阶微分形式的不变性 : 设复合 函数 ) ( ), ( x u u f y ? ? ? ,于 是按 复合 函数的 求导 公式 ,
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