热门搜索:

  • /?25
  • 下载费用:1 金币 ?

工程数学 3.ppt

关?键?词:
工程 数学
资源描述:
第3节 条件概率,例1 将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情况.设事件A={至少有一次为正面H},事件B={两次掷出同一面},求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率.,解 样本空间为Ω={HH,HT,TH,TT},B={HH,TT},A={HH,HT,TH}.若记已知事件A发生的条件下事件B发生的概率为P(B|A),则有,一、 条件概率与乘法公式,1. 条件概率,P(B|A)=1/3,故有,易知,P(A)=3/4,P(AB)=1/4,,P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4),,定义 设A,B是两个事件,且P(A)>0,称,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,条件概率是指在事件A发生的条件下,另一事件B发生的概率,记用P(B|A).,条件概率的性质,条件概率符合概率定义中的三个条件.即,(1)对于任一事件B,有P(B|A)≥0;,(2)P(Ω|A)=1;,(3)可列可加性:设B1,B2,… Bn是两两互不相容的事件,则有,因此,概率中的一些重要结果都适用于条件概率.,证明 (见教材),解 依题意,例4 考虑恰有两个小孩的家庭,若已知某一家有男孩求这家有两个男孩的概率;若已知某家第一个是男孩,求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能),于是得,所求的两个条件概率为,例5 设100件产品中有5件次品,从中任取两次,每次取一件,作不放回抽样.设A={第一次抽到合格品},B={第二次抽到次品},求P(B|A).,解法1 在A已发生的条件下,产品数变为99件,其中次品数仍为5件,所以P(B|A)=5/99,解法2 从100件产品中连续抽取2件(抽后不放回),其样本空间S的基本事件总数为100×99,使AB发生的基本事件数为95×5.,P(AB)=(95×5)/(100×99),于是,P(A)=95/100,故有,P(B|A)=5/99=0.05051,2. 乘法公式,由条件概率定义可得下面定理,乘法定理 若P(A)>0,则有 P(AB)=P(B|A)P(A)上式称为乘法公式 .,乘法公式可以推广到任意有限个事件的情况.设A1,A2,…,An为试验E中的n个事件,且P(A1A2…An-1)>0,则有 P(A1A2…An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1),例6 一个盒子中有6只白球,4只黑球,从中不放回地每次任取1只,连取3次,求第三次才取得白球的概率.,易知,解 设事件Ai表示第i次取得白球(i=1、2、3), A表示第三次才取得白球. 则A等于第一次取得黑球,第二次取得黑球,第三次取得白球, 即,例7 袋中装有两个红球和三个白球,从中依次取出两个,求两个都是红球的概率.,解 设A1={第一次取得红球},A2={第二次取得红球}.,(1) 若用“不放回抽样”,则,P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)×(1/4)=0.1,(2) 若用“有放回抽样”,则,P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)×(2/5)=0.16,例8 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率为7/10;若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解法1 设Ai={透镜第i次落下未打破},(i=1,2,3),B={透镜落下三次而未打破},则B=A1A2A3, 故有,P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) =(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10) =3/200=0.015,例9 一个盒子中有n(n>1)只晶体管,其中有一只次品,随机地取一只测试,直到找到次品为止.求在第k(1≤k≤n)次才测试出次品的概率.,解 设Ai={第i次测试的是正品},Bk={第k次才测试到次品},则,二、全概率公式和贝叶斯公式,定义 设Ω为试验E的样本空间,B1,B2,…,Bn为E的一组事件.若1)BiBj=?,i≠j,i,j=1,2,…,n;2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω则称B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分.,1. 全概率公式,若B1,B2,…,Bn是样本空间Ω的一个划分,那么, 对于每次试验, 事件B1,B2,…,Bn中必有一个且仅有一个发生.,定理 设Ω为试验E的样本空间,B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分, A为E的一个事件, 且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)上式称为全概率公式 .,证明 因为 A=AΩ=A(B1∪B2∪…∪Bn)=AB1∪ AB2∪ …∪ABn,由假设BiBj=?,i≠j,知(ABi)(ABj)=?,i≠j,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),得到,P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn) =P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)证毕,解 设事件A表示取出的2个球都是白球,事件Bi表示所选袋子中装球的情况属于第i种(i=1、2、3),易知,于是按全概率公式所求的概率,解 设事件Bi是一批产品中有i个次品(i=0,1,2,3,4),设事件A是这批产品通过检查,即抽样检查的10个产品 都是合格品,则有,所求的概率,例13 有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个正品,一个次品;在第二个箱中有三个正品,一个次品;在第三个箱中有两个正品,两个次品.现从任何一个箱子中,任取一件产品,求取得的是正品的概率.,解 设Bi={从第i个箱子中取到产品}(i=1,2,3),A={取得正品}.由题意知Ω=B1+B2+B3且B1,B2,B3是两两互不相容的事件.,P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3,,由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.64,P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=2/4=1/2,2. 贝叶斯公式,在全概率公式中我们知道,引起事件A发生的原因有B1,B2,…,Bn等多种. 在实际问题中,常遇到已知事件A已经发生,要求出事件A发生是由某种原因Bk引起的概率P(Bk|A).,例14 有外形相同的球分装三个盒子,每盒10个。其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8,白球2个。试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一球。如果第二次取出的球是红球,则称试验成功。若试验成功,求第二次取出的红球是从第二个盒子取得的概率。,解 P(A|R)=P(AR)/P(R) =P(A)P(R|A)/P(R) =0.7×0.5/0.59 =35/59,假若我们事先没有求出P(R),则一般有: P(A|R) =P(AR)/P(R) =P(A)P(R|A)/P(R) =P(A)P(R|A)/[P(A) P(R|A)+P(B) P(R|B)],证明 由条件概率的定义及全概率公式有,上式称为贝叶斯(逆概率)公式.,定理,例15 无线电通讯中,发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“.”和“-”.由于干扰,发出信号“.”时,收报台以概率0.98收到信号“.”,发出信号“-”时,收报台以概率0.99收到信号“-”.求在收报台收到信号“-”的条件下,发报台发出信号“.”的概率.,解 设B1={发出信号“.”},B2={发出信号“-”},A1={收到信号“.”},A2={收到信号“-”}.由于B1B2=?,B1∪B2= Ω,A2=A2B1 ∪ A2B2,于是,解 由贝叶斯公式得 P(C|A) =P(AC)/P(A),=0.005×0.95/[0.005×0.95+(1-0.005×(1-0.95)] =0.087,作业:习题八, 9,11.,
? 汽车智库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
0条评论

还可以输入200字符

暂无评论,赶快抢占沙发吧。

关于本文
本文标题:工程数学 3.ppt
链接地址:http://www.autoekb.com/p-1478.html
关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服客服 - 联系我们

copyright@ 2008-2018 mywenku网站版权所有
经营许可证编号:京ICP备12026657号-3?

收起
展开